数学北师大版（2019）必修第一册1.4.1一元二次函数教案（第一课时）（1）

第四节 一元二次函数和一元二次不等式
4.1　一元二次函数 教学设计
一元二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．
教学目标：
1. 通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．
掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函
数的最值．
二. 核心素养
1. 数学抽象：一元二次函数变量的变化趋势
2. 逻辑推理：利用初中所学的二次函数，配成顶点式，让学生对一元二次函数的平移变化，能更好的掌握
3. 数学运算：一元二次函数的平移变化；如何求一元二次函数的最值
4. 直观想象：根据函数图像的变化，让学生更好理解函数之间的关系
5. 数学建模：数学中，通过对同类函数图像之间的变化的研究，让学生能更好的将一元二次函数运用实践中，更好的解决实际中，类似于抛物线的物体，我们都可以通过某些计算，来解决实际问题。
重点：1.二次函数的平移变化 2 二次函数x和y的变化趋势
难点: 如何将一般二次函数配成顶点式
PPT
知识引入
在初中，我们学习了一元二次函数y= ax2+bx+c,(a≠0)认识这个函数的过程是从 y=x2(开始的，是由简到繁的过程(如图1-19).
思考交流
请分析讨论函数y=a(x-h)2+k的图象可以由函数y=ax2图象经过怎样 的变换得到.
2知识概括：
（1）二次函数图像的变换规律：
抛物线y=a(x-h)2+k的图像，可以由y=ax2得图像移动而得到。
y=ax2（a＞0）的图像 . y=-ax2（a＞0）的图像
当h＜0时，向左平移个单位长度，
当h＞0时，向右平移个单位长度
y=a（x-h）2的图像
当k＞0时，向上平移个单位长度
当k＜0时，向下平移个单位长度
y=a（x-h）2-k的图像
写成一般形式
y=ax2+bx+c的图像
（2）一元二次函数y-a(x-h)2+k(a≠0)有如下性质：
(1)函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h,k）对称轴是直线x=h；
（2）当a>0时，抛物线开口向上;在区间（，h]上，函数值y随自变量x的增大而减 小;在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x=h处有最小值，记 作 ymin=k.
当a例1已知一元二次函数
（1） 指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换而得到；
指出它的图象的对称轴,试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
解（1）配方，得
所以函数 的图象可以由函数 的图象向左平移2个单位长
度， 再向上平移3个单位长度而得到.
由（1）可知:该函数的图象开口向上,对称轴为直线x=-2；在区间（，2]上， 函数值y随自变量x的增大而减小，在区间 上，函数值y随自变量x的增大而增大;函数值y在x=一 2处取得最小值3 ,即ymin= 3.
【知识扩充】
例2：画出二次函数，的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
解：如图所示
抛物线的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。
例3：画出函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线？
解：抛物线的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。
把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线。
注意细节：二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来
习题练习
用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最值：
（1） （2） y=-3x2+12x-8
已知一元二次函数
（1） 指出它的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换而得到；
（2） 指出它的图像的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值
本节内容讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像随ａ值变化的规律性，二是二次函数的性质与图像．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图像．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．