2023版新教材高中数学热点题型探究五 第五章三角函数（含解析）

热点题型探究(五)
题型一　三角函数式的化简与求值
1．已知sin (－α)＝，则sin 2α的值为(　　)
A． 　 　 B.　 　 C.－　 　 D.－
2．已知α为锐角，且sin (α－)＝，则cos (－α)＝(　　)
A．　　　 B．－ C．　 　 　 D．－
3．已知tan α＝3，则的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
4．已知α∈(0，π)，且sin α－cos α＝，则＝(　　)
A． B．12 C．－12 D．－
5．tan＋tan ＋tan tan ＝________．
6．已知sin (α＋2β)＝，cos (2α＋β)＝－，α∈(，)，β∈(－，0)，则α－β＝________．
题型二　三角函数的图象与性质的应用
1．[2022·重庆高一期末]下列函数中，以π为最小正周期，且在(，π)上单调递增的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝－tan x
C．y＝cos x D．y＝|cos x|
2．函数f(x)＝的图象可能为(　　)
3．函数f(x)＝sin (2x－)的图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
4．(多选)已知函数f(x)＝|sin x|－cos |x|，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是周期函数
C．f(x)在区间(，π)单调递增
D．f(x)的最小值为－1
5．[2022·江苏淮安高一期末]已知函数f(x)＝cos (πx＋φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数，则f(2)＝________．
6．已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωx cos ωx＋a的最小正周期为π，其中ω>0，且f(x)的图象经过点(，1).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在区间[－，0]上的最大值和最小值．
题型三　三角函数图象的变换与解析式的求法
1．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位后与y＝g(x)的图象重合，则(　　)
A．g(x)＝sin (2x＋) B．g(x)＝sin (2x－)
C．g(x)＝sin (2x＋) D．g(x)＝sin (2x＋)
2．[2022·福建福州一中高一期末]函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)可能是(　　)
A．f(x)＝2sin (2x－)
B．f(x)＝2sin (2x－)
C．f(x)＝2sin (4x－)
D．f(x)＝2sin (4x－)
3．设函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，若x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)
A． B． C． D．1
4．[2022·河北唐山高一期末](多选)要得到y＝sin (2x－)的图象，可以将函数y＝sin x图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
5．[2022·广东深圳高一期末]将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝sin 2x的图象，则f()＝________．
6．[2022·广东惠州高一期末]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)的部分图象如下图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)讨论函数f(x)在[π，2π]上的单调性．
热点题型探究(五)
题型一
1．答案：B
解析：sin 2α＝cos (－2α)＝1－2sin2(－α)＝1－2×＝.
2．答案：C
解析：由α为锐角，即0<α<，则－<α－<，
则cos(－α)＝cos (α－)＝＝＝.
3．答案：A
解析：＝＝＝，tanα＝3，则原式＝.
4．答案：D
解析：因为sin α－cos α＝，所以sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝，所以2sin αcos α＝，所以sin 2α＝，
因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
又sin αcos α>0，所以cos α>0，所以sin α＋cos α>0，
所以sin α＋cos α＝
＝＝ ＝，
所以cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)＝×(－)＝－，
所以＝＝－.
5．答案：
解析：因为tan＝tan (＋)＝＝，
所以，tan ＋tan ＋tan tan ＝(1－tan tan )＋tan tan ＝.
6．答案：
解析：因为α∈(，)，β∈(－，0)，则<2α＋β<π，－<α＋2β<，<α－β<，
所以，cos (α＋2β)＝＝，sin(2α＋β)＝＝，
所以，cos(α－β)＝cos [(2α＋β)－(α＋2β)]＝cos (2α＋β)cos (α＋2β)＋sin (2α＋β)sin (α＋2β)
＝－×＋×＝，
因此，α－β＝.
题型二
1．答案：D
解析：对于AC选项，y＝cos x，y＝sin x的最小正周期为2π，故错误；
对于B选项，y＝－tan x最小正周期为π，在区间(，π)上单调递减，故错误；
对于D选项，y＝|cos x|最小正周期为π，当x∈(，π)时，y＝－cos x为单调递增函数，故正确．
2．答案：A
解析：对任意的x∈R，2－cos x>0，则函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝＝＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，排除BC选项，
当00，则f(x)＝>0，排除D选项．
3．答案：D
解析：由于正弦函数的性质，有2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
当k＝0时，x＝.
4．答案：ABD
解析：f(－x)＝|sin (－x)|－cos |－x|＝|sin x|－cos |x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故选项A正确；
因为f(x＋2π)＝|sin (x＋2π)|－cos |x＋2π|＝|sin x|－cos |x|＝f(x)，所以f(x)是周期函数，故B正确；
当x∈(，π)时，f(x)＝|sin x|－cos |x|＝sin x－cos x＝sin (x－)，函数在(，)上单调递增，在(，π)上单调递减，故C错误；
因为|sin x|≥0，所以cos |x|＝1时，函数f(x)＝|sin x|－cos |x|有最小值为－1，故D正确.
5．答案：0
解析：∵函数f(x)＝cos (πx＋φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数，
∴φ＝，f(x)＝cos (πx＋)＝－sin πx，
∴f(2)＝－sin 2π＝0.
6．解析：(1)f(x)＝cos2ωx＋sinωx cos ωx＋a＝＋sin 2ωx＋a，
＝sin (2ωx＋)＋a＋，
故T＝＝π，ω>0，得ω＝1，
又f(x)的图象经过点(，1)，
∴f()＝sin (2×＋)＋a＋＝1，得a＝－，
故f(x)的解析式为f(x)＝sin (2x＋).
(2)x∈[－，0]，2x＋∈[－，]，由正弦函数的单调性，得－1≤sin (2x＋)≤，
故最小值为－1，最大值为.
题型三
1．答案：C
解析：由已知可得g(x)＝f(x＋)＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋).
2．答案：A
解析：由图象可知：|A|＝2，且T＝2×(－)＝π，所以ω＝＝2，不妨设：f(x)＝2sin (2x＋φ)，将(，2)代入得：2sin (＋φ)＝2，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得：φ＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝－，故A正确，其他选项均不合要求．
3．答案：C
解析：根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象，可得：A＝1；
因为＝＝－(－)，∴ω＝2，
结合五点法作图可得2·(－)＋φ＝0，
∴φ＝，f(x)＝sin (2x＋).
如果x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，结合2x＋∈(0，π)，可得＝，
∴x1＋x2＝，
∴f(x1＋x2)＝f()＝sin (＋)＝.
4．答案：BD
解析：将y＝sin x向右平移个单位得到y＝sin (x－)，再将y＝sin (x－)横坐标缩短到原来的，纵坐标不变y＝sin (2x－)，故B正确，A错误；
将y＝sin x横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到y＝sin 2x，再将y＝sin 2x向右平移个单位得到y＝sin 2(x－)＝sin (2x－)，故D正确，C错误．
5．答案：0
解析：由题意可知，将函数g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到y＝f(x)，
则f(x)＝sin [2(x－)]＝sin (2x－)，
所以f()＝sin (2×－)＝0.
6．解析：(1)由图知，A＝1，最小正周期T＝(－)×4＝π，
因为T＝，所以ω＝2，
将点(，1)代入函数的解析式中，得1＝1×sin (2·＋φ)，所以φ＋＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|≤，所以φ＝，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin (2x＋)；
(2)因为x∈[π，2π]，所以2x＋∈[，]，
令t＝2x＋，则t∈[，]，
因为函数y＝sin t在[，]上单调递减，在[，]和[，]上单调递增，
令≤2x＋≤，得≤x≤，
令≤2x＋≤，得π≤x≤，令≤2x＋≤，得≤x≤2π，
所以f(x)在[，]上单调递减，在[π，]和[，2π]上单调递增．
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