2023版新教材高中数学热点题型探究三 第三章函数的概念与性质（含解析）

热点题型探究(三)
题型一　函数的定义域与值域、解析式的求法
1．[2022·广东潮州高一期末]函数y＝＋的定义域为(　　)
A．(－∞，3)∪(3，＋∞) B．[1，3)∪(3，＋∞)
C．[1，＋∞) D．[3，＋∞)
2．设函数f()＝2x＋1，则f(x)的表达式为(　　)
A．(x≠0) B．＋1(x≠0)
C．(x≠－1) D．(x≠－1)
3．函数f(x)＝－x＋3的值域是________．
题型二　分段函数及其应用
1．已知函数f(x)＝，则f(－1)＝(　　)
A．5　　　 B．3 C．2　　　 D．－2
2．[2022·湖北武汉高一期末]设函数f(x)＝，若f(f())＝4，则实数b＝(　　)
A．　　　B．1 C．　　　D．2
3．[2022·福建泉州高一期末]若f(x)＝，则f(f(－2))＝________．
题型三　函数奇偶性与单调性的综合应用
1．下列函数是偶函数且在区间(－∞，0)上为减函数的是(　　)
A．y＝2x B．y＝
C．y＝|x| D．y＝－x2
2．已知函数f(x)＝x2－mx＋3在[－1，1]上单调，则m的取值范围是(　　)
A．[－，]
B．[－2，2]
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
3．若奇函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　)
A．单调递增，且有最小值f(1)
B．单调递增，且有最大值f(1)
C．单调递减，且有最小值f(2)
D．单调递减，且有最大值f(2)
4．已知f(x)＝是奇函数，则a＝________．
5．[2022·广东化州高一期末]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是________________．
6．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数．若f(m)>f(2)，则实数m的取值范围是________．
题型四　函数的应用问题
1．[2022·广东广州高一期末]某人去上班，先跑步，后步行．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是(　　)
2．某小区有居民1 000户，去年12月份总用水量为8 000吨.今年开展节约用水活动，有800户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水x吨，使得今年1月份该小区居民用水总量低于6 000吨．则x满足的关系式为________．
3．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
若某用户本月缴纳的水费为60元，则此户居民本月用水量为________m3.
热点题型探究(三)
题型一
1．答案：B
解析：由，得x≥1且x≠3，所以函数y＝＋的定义域为[1，3)∪(3，＋∞).
2．答案：B
解析：令t＝，则t≠0且x＝，所以，f(t)＝＋1(t≠0)，因此，f(x)＝＋1(x≠0).
3．答案：(－∞，2]
解析：令t＝，则t≥0，
则y＝t－＋3＝－(t2－2t－3)
＝－(t－1)2＋2≤2，
所以f(x)的值域为(－∞，2].
题型二
1．答案：A
解析：因为f(x)＝，
所以f(－1)＝f(2)＝22＋1＝5.
2．答案：C
解析：由题可知：f()＝3×－b＝－b，
① ，则b∈ ；
② b＝.
所以b＝.
3．答案：
解析：f(－2)＝|(－2)3＋1|＝7，f(f(－2))＝f(7)＝.
题型三
1．答案：C
解析：y＝2x不是偶函数；
y＝不是偶函数；
y＝|x|是偶函数，且函数在(－∞，0)上是减函数，所以该项正确；
y＝－x2是二次函数，是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数．
2．答案：D
解析：∵函数f(x)＝x2－mx＋3在[－1，1]上单调，
∴≤－1或≥1，
∴m≤－2或m≥2，
∴m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).
3．答案：C
解析：根据奇函数的图象关于原点对称，所以其在y轴两侧单调性相同，
因为f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减，
所以f(x)在区间[1，2]上有最大值f(1)，最小值f(2).
4．答案：0
解析：∵f(x)＝是奇函数，
∴f(0)＝＝0，∴a＝0，
检验，当a＝0时，f(－x)＝＝－f(x)，
f(x)＝是奇函数．
5．答案：f(x)＝
解析：x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2×(－x)]＝－x2－2x，
所以f(x)＝.
6．答案：(－2，2)
解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴不等式f(m)>f(2)，等价为f(|m|)>f(2)，
即|m|<2，解得－2题型四
1．答案：D
解析：由题意可知：x＝0时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A、C，随着时间的增加，先跑步，开始时y随x的变化快，后步行，则y随x的变化慢，所以适合的图象为D.
2．答案：x＞
解析：1 000户居民去年12月份总用水量为8 000吨，
则1户居民去年12月份的用水量为＝8吨．
1户居民安装了节水龙头后一个月的用水量为(8－x)吨，
则今年1月份该小区居民用水总量为(8－x)×800＋8×200.
∴(8－x)×800＋8×200＜6 000，解得x＞.
∴x满足的关系式为x＞.
3．答案：16
解析：方法一　按“不超过12 m3的部分”水价计算，最多用水12 m3，水费为12×3＝36元，
∵60元＞36元，故该户居民用水量超过了12 m3，
按“超过12 m3但不超过18 m3的部分”的水价计算，这一段最多用水6 m3，水费为6×6＝36元，
∵36＋36＝72元＞60元，故该户居民用水量介于12 m3和18 m3之间，其中按6元/m3计费的用水量为(60－36)÷6＝4 m3，
∴该户居民用水量为12＋4＝16 m3.
方法二　设用水量为x m3，水费为y元，
则y＝，
0≤x≤12时，若y＝60，则3x＝60 x＝20>12，不符合；
12故用水量为16 m3.
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