2023版新教材高中数学滚动练习一：指数函数、对数函数与幂函数（含解析）

滚动练习一　指数函数、对数函数与幂函数
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．若a<，则化简的结果是(　　)
A. B．－ C． D．－
2．函数 y＝的定义域为(　　)
A.(－∞，] B．[，＋∞) C．(0，] D．(0，8]
3．三个数e－，log0.23，ln π的大小关系为(　　)
A.log0.23＜e－＜ln π B．e－＜ln π＜log0.23
C.e－＜log0.23＜ln π D．log0.23＜ln π＜e－
4．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中包含f(x)零点的区间是(　　)
A.(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)
5．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A.{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
6．设函数f(x)＝若f(a)＝1，则a的值为(　　)
A.－1 B．1 C．－1或1 D．－1或1或－2
7．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(0，)
8．函数f(x)＝在x∈R内单调递减，则a的取值范围是(　　)
A.(0，] B． C．[，1) D．[，1)
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．设a，b，c是均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A.logab·logca＝logcbB．loga(bc)＝logab·logac
C.loga(b＋c)＝logab＋logac D．logab＝logacbc
10．下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝()x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　)
A.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
11．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)，则使函数y在区间[－1，1]上的最大值是14的a的值为(　　)
A. B．4 C．3 D．2
12．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　)
A.f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B．f(－2)＜f(3)
C.f(x)－g(x)＝π－xD．f(2x)＝2f(x)g(x)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(3)＝________．
14．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x 1
f(x) 1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
15．对于下列结论：
①函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到；
②函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称；
③方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1，3}；
④函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数．
其中正确的结论是________．(把你认为正确的序号都填上)
16．已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________；若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)已知函数f(x)＝loga(x＋3)－loga(3－x)，a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性．
18．(12分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)，
(1)求函数的定义域；
(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值．
19．(12分)设函数f(x)＝k·2x－2－x是定义在R上的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若不等式f(x)>a·2x－1有解，求实数a的取值范围；
(3)设g(x)＝4x＋4－x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．
20．(12分)已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求不等式loga(3x＋1)＜loga(7－5x)；
(2)若函数y＝loga(2x－1)在区间[3，6]上有最小值为－2，求实数a的值．
21．(12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的关系．
(1)写出y关于t的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．
①求服药一次后治疗疾病有效的时间；
②当t＝5时，第二次服药，问t∈时，药效是否连续？
22．(12分)已知指数函数y＝g(x)满足g(2)＝4，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)确定y＝g(x)的解析式；
(2)求m，n的值；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
滚动练习一　指数函数、对数函数与幂函数
1．答案：C
解析：∵a<，∴2a－1<0，于是，原式＝＝.
2．答案：C
解析：要使函数y＝有意义，应满足
，即，解得0所以函数的定义域为(0，].
3．答案：A
解析：由y＝ex，y＝log0.2x和y＝ln x可知0＜e－＜1，log0.23＜0，ln π＞1，故选A.
4．答案：C
解析：因为f(x)在定义域上为减函数，f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－<0，f(5)＝－log25<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(3，4).
5．答案：C
解析：令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图，
由得
结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－16．答案：C
解析：∵f(a)＝1，
∴或
∴或
∴a＝－1或a＝1.
7．答案：D
解析：设f(x)＝|ax－1|，关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，转化为函数f(x)＝|ax－1|与函数y＝2a有两个交点，
当a>1时，在同一直角坐标系内，函数f(x)＝|ax－1|与函数y＝2a的图象如图所示：
显然函数f(x)＝|ax－1|与函数y＝2a的图象只有一个交点，不符合题意；
当0函数f(x)＝|ax－1|与函数y＝2a有两个交点，则有0<2a<1 08．答案：B
解析：若函数f(x)＝在x∈R内单调递减，
则
解得≤a≤，故选B.
9．答案：AD
解析：由换底公式得logab·logca＝·＝＝logcb，logacbc＝＝＝logab，∴A，D均恒成立．
10．答案：ABD　
解析：结合指数函数y＝()x和对数函数y＝logx的图象如图所示，易得C正确，ABD错误．
11．答案：AC
解析：令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)，
当0又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)，
综上知a＝3或a＝.
12．答案：ABD
解析：A正确，因为f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)；C不正确，f(x)－g(x)＝－＝＝－π－x；D正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x).
13．答案：27
解析：由题意得定点A为(2，8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.
14．答案：{x|－4≤x≤4}
解析：由表中数据知＝()n，所以α＝，
所以f(x)＝，所以≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4，所以不等式f(|x|)≤2的解集是{x|－4≤x≤4}．
15．答案：①④
解析：y＝ax＋2的图象可由y＝ax的图象向左平移2个单位得到，①正确；y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，②错误；
由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得
∴
∴x＝3，③错误；
设f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，定义域为(－1，1)，关于原点对称，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝－f(x).
∴f(x)是奇函数，④正确，故正确的结论是①④.
16．答案：－2　(－∞，]∪[，＋∞)
解析：f(f(3))＝f(log3)＝f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2，
对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|，
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥，
∴实数k的取值范围为(－∞，]∪[，＋∞).
17．解析：(1)要使式子有意义，则
解得－3∴函数的定义域为(－3，3).
(2)函数f(x)是奇函数．
证明：由(1)知定义域为(－3，3)，
f(－x)＝loga(－x＋3)－loga[3－(－x)]，
所以f(－x)＝loga(3－x)－loga(3＋x)，
则f(－x)＝－[loga(3＋x)－loga(3－x)]，
即f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
18．解析：(1)由真数2x＋3－x2>0，解得－1所以函数的定义域为{x|－1(2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数，因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，
所以当x＝1时，u取得最大值4，又y＝log4u为单调增函数，
所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1，
所以y的最大值为1，此时x＝1.
19．解析：(1)因为f(x)＝k·2x－2－x是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，所以k－1＝0，解得k＝1，
所以f(x)＝2x－2－x，
当k＝1时，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，故k＝1.
(2)f(x)>a·2x－1有解，所以a<－()2＋()＋1有解，
所以只需a<[－()2＋()＋1]max，
因为－()2＋()＋1＝－(－)2＋≤(x＝1时，等号成立)，
所以a<.
(3)因为g(x)＝4x＋4－x－4f(x)，所以g(x)＝4x＋4－x－4(2x－2－x)，
可令t＝2x－2－x，可得函数t在[1，＋∞)递增，即t≥，
则t2＝4x＋4－x－2，可得函数g(x)＝h(t)＝t2－4t＋2，t≥，
由h(t)为开口向上，对称轴为t＝2>的抛物线，
所以t＝2时，h(t)取得最小值－2，
此时2＝2x－2－x，解得x＝log2(1＋)，
所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，
此时x＝log2(1＋).
20．解析：(1)因为22a＋1＞25a－2，所以2a＋1＞5a－2，即3a＜3，所以a＜1，又因为a＞0，所以0＜a＜1，
则不等式loga(3x＋1)＜loga(7－5x)，
等价为即
所以＜x＜，即不等式loga(3x＋1)＜loga(7－5x)的解集为(，).
(2)由(1)得0＜a＜1，
所以函数y＝loga(2x－1)在区间[3，6]上为减函数，
所以当x＝6时，y有最小值为－2，即loga11＝－2，
所以a－2＝＝11，解得a＝.
21．解析：(1)将t＝1，y＝4分别代入y＝kt，y＝()t－a，得k＝4，a＝3，
从而y＝f(t)＝
(2)①当0≤t≤1时，由4t≥0.25，得≤t≤1，
当t>1时，由()t－3≥0.25，得1因此，服药一次后治疗疾病有效的时间为
5－＝4(小时).
②连续．因为当t＝5时，第二次服药，则t∈时，血液中的含药量增加得快，减少得慢，从而每毫升血液中的含药量还是一直不少于0.25微克的，即药效是连续的．
22．解析：(1)设指数函数g(x)＝ax(a＞0且a≠1)，
由g(2)＝4得a2＝4，得a＝2，所以g(x)＝2x.
(2)由(1)知f(x)＝，
∵f(x)在R上是奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，∴n＝1，
∴f(x)＝，
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，
解得m＝2.
(3)由(2)知f(x)＝＝－＋，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0，
由判别式Δ＝4＋12k<0可得k<－，
即实数k的取值范围为(－∞，－).
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