2023版新教材高中数学滚动练习四模块质量检测（含解析）

滚动练习四　必修二模块质量检测
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ B．y＝2－x C．y＝logx D．y＝
2．已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝(　　)
A． B．2 C．5 D．50
3．10名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
4．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1
5．如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为(　　)
A．20 B．30 C．40 D．50
6．为迎接2022年北京冬季奥运会， 某校开设了冰球选修课，12名学生被分成甲、乙两组进行训练．他们的身高(单位：cm)如图所示：
甲组 乙组
4　5　6　7　8　9 17 6　7　8　9
18 0　1
设两组队员身高平均数依次为甲，乙，方差依次为s，s，则下列关系式中完全正确的是(　　)
A.甲＝乙，s>s B．甲<乙，s>s
C．甲<乙，s＝s D．甲<乙，s7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A.1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
8．已知函数f(x)对任意不相等的实数x1，x2都满足(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，若a＝f(21.2)，b＝f(()－0.8)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列计算正确的是(　　)
A.＝ B．21－log23＝ C．＝ D．log3(－4)2＝4log32
10．下列结论正确的是(　　)
A.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B.若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.
C.向量a与b共线 存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0
D.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝1
11．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、其他垃圾、有害垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1 000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾的总投放质量/千克 400 100 100
可回收物的总投放质量/千克 30 240 30
其他垃圾的总投放质量/千克 20 20 60
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是(　　)
A.厨余垃圾投放正确的概率为
B.居民生活垃圾投放错误的概率为
C.该小区这三类垃圾中，其他垃圾投放正确的概率最低
D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差是20 000
12．对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间[m，n] D，且满足下列条件：①f(x)在[m，n]上是单调的；②当f(x)的定义域是[m，n]时，值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是(　　)
A.f(x)＝x3 B．f(x)＝3－ C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln x＋2
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图所示，则甲、乙两班的最高成绩分别是________．从图中看，________班的平均成绩较高．
14．已知函数f(x)＝，f(log2)＝________，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________．
15．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为________．
16．已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，且2f(x)－ex－m≥0在x∈[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求a的取值范围．
19.(12分)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；
(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．
20．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝a，＝b.
(1)用a，b分别表示向量，；
(2)若＝t，求实数t的值．
21.(12分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16；
B组：12，13，15，16，17，14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
22．(12分)已知函数f(x)＝loga(2x＋1)－loga(1－2x).
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给予证明；
(2)若函数y＝f(x)与y＝m－loga(2－4x)的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．
滚动练习四　必修二模块质量检测
1．答案：A
解析：y＝x在(0，＋∞)上单调递增，y＝2－x＝()x，y＝logx，y＝在(0，＋∞)上均单调递减．
2．答案：A
解析：∵a－b＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，
∴|a－b|＝＝.
3．答案：D
解析：把样本数据按照由小到大的顺序排列：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，故众数c＝17，中位数b＝(15＋15)＝15，平均数a＝(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，故c＞b＞a.
4．答案：D
解析：当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
5．答案：C
解析：前3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×＝0.25.设样本容量为n，则＝0.25，则n＝40.
6．答案：C
解析： 由茎叶图，得：甲＝(174＋175＋176＋177＋178＋179)＝176.5，
s＝[(174－176.5)2＋(175－176.5)2＋(176－176.5)2＋(177－176.5)2＋(178－176.5)2＋(179－176.5)2]＝，
乙＝(176＋177＋178＋179＋180＋181)＝178.5，
s＝[(176－178.5)2＋(177－178.5)2＋(178－178.5)2＋(179－178.5)2＋(180－178.5)2＋(181－178.5)2]＝，∴甲<乙，s＝s.
7．答案：A
解析：设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2，由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，由m2－m1＝lg ，
得lg ＝－1.45＋26.7＝25.25.
∴lg ＝25.25×＝10.1，
∴＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.
8．答案：B
解析：由题得，21.2>2>()－0.8＝20.8>1>ln 2，又由(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，可知函数f(x)为单调递增函数，故a>b>c.
9．答案：BCD
解析：＝＝，A错误；21－log23＝＝，B正确；＝＝＝＝，C正确；log3(－4)2＝log316＝log324＝4log32，D正确．
10．答案：CD
解析：一个平面内不共线向量有无数对，每一对都可作为表示该平面内所有向量的基底，A不正确；对B，当e1，e2共线时，不正确；根据向量共线的条件和共线向量基本定理知C正确；根据三点共线的条件可推出，D正确．
11．答案：ACD
解析：厨余垃圾投放正确的概率P1＝＝.
居民生活垃圾投放错误的概率
P2＝＝.
易知该小区这三类垃圾中，其他垃圾投放正确的概率最低．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差是
s2＝＝20 000.
12．答案：ABD
解析：对于A，函数f(x)＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x的解为x＝－1，0，1，当x∈[－1，1]时，x3∈[－1，1]，满足条件；
对于B，函数f(x)＝3－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，且3－＝x的解为x＝1，2，当x∈[1，2]时，3－∈[1，2]，满足条件；
对于C，函数f(x)＝ex－1在定义域R上单调递增，但ex－1＝x只有一个解，为x＝0，不满足条件；
对于D，函数f(x)＝ln x＋2在(0，＋∞)上单调递增，显然函数f(x)＝ln x＋2的图象与函数y＝x的图象在(0，＋∞)上有两个交点，即ln x＋2＝x有两个解，满足条件．
13．答案：96，92　乙
解析：由图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在60到80之间，乙班的成绩集中在70到90之间，故乙班的平均成绩较高．
14．答案：log2　－3
解析：由log2<0，所以f(log2)＝log2＋1＝log2；由f(1)＝2，则f(a)＝－2，另外再由2x>0，从而得f(a)＝a＋1＝－2 a＝－3.
15．答案：
解析：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：
p＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)
＝××＋××＋××＋××＝＝.
16．答案：(－∞，e－2]
解析：由f(x)＋g(x)＝ex①，
可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，
即f(x)－g(x)＝e－x②，
由①②，解得f(x)＝.
2f(x)－ex－m≥0在x∈[1，2]上恒成立，
即m≤2f(x)－ex＝e－x在x∈[1，2]上恒成立．
又函数y＝e－x在[1，2]上单调递减，所以ymin＝e－2，
所以m≤e－2，即实数m的取值范围为(－∞，e－2].
17．解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，
＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0).
由与共线，可得4(x－1)＝5y.①
又∵＝－＝(x－5，y)，
由与共线，得6(x－5)＝－3y.②
由①②解得x＝，y＝.
∴P的坐标为(，).
18．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，
解得2x＝1或2x＝－(舍去).
所以x＝0，所以函数f(x)的零点为x＝0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解．
于是2a＝＝()x＋()x＝－.因为()x>0，
所以2a>－＝0，即a>0.
所以a的取值范围为(0，＋∞).
19．解析：(1)据直方图知组距为10，
由(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1，解得a＝＝0.005.
(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.
成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.
(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).
其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个：
(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).
故所求概率为p＝.
20．解析：(1)由题意，D为BC的中点，AE＝EC，可得＝，＝a，＝b.
∵＋＝2，∴＝2b－a，
∴＝－＝2b－a－a＝－a＋2b，
(2)∵＝t＝tb，
∴＝－＝－a＋(2－t)b
∵＝－a＋2b，，共线，
由平面向量共线基本定理可知满足＝，
解得t＝.
21．解析：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，
事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1，2，…，7.
由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，…，7.
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．
由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)
＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.
(3)a＝11或a＝18.
22．解析：(1)函数f(x)为奇函数．
证明如下：
因为f(x)的定义域为(－，)，关于原点对称，
f(x)＋f(－x)＝[loga(2x＋1)－loga(1－2x)]＋[loga(－2x＋1)－loga(1＋2x)]＝loga＋loga＝loga1＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)函数y＝f(x)与y＝m－loga(2－4x)的图象有且仅有一个公共点 方程loga＝m－loga(2－4x)在区间(－，)上有且仅有一个实数解．
m＝loga＋loga[2(1－2x)]＝loga(4x＋2).
因为－所以a>1时，loga(4x＋2)∈(－∞，loga4)；0loga(4x＋2)∈(loga4，＋∞)，
所以当a>1时，m∈(－∞，loga4)；
当01