2023版新教材高中数学滚动练习三 第三章函数（含解析）

滚动练习三　第三章　章末质量检测
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．{x|x≥－1} B．{x|x≠－1} C．{x|x>－1} D．{x|x>－1且x≠0}
2．函数f(x)＝则f()的值为(　　)
A．B．－C．D．18
3．已知f(1－2x)＝，则f()的值为(　　)
A．4 B．C．16 D．
4．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象可能是(　　)
5．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2，4]上的零点必定属于(　　)
A．[－2，1] B．[2.5，4] C．[1，1.75] D．[1.75，2.5]
6．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　)
A．－3≤a<0 B．－3≤a≤－2
C．a≤－2 D．以上答案都不对
7．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是(　　)
8．已知函数f(x)是定义域为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有>0，则满足f(1－2x)－f(－)>0的x的范围是(　　)
A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列四个函数中，在(－∞，0)上是减函数的为(　　)
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝1－
C．f(x)＝x2－5x－6 D．f(x)＝3－x
10．已知f(x)＝若f(x)＝1，则x的值是(　　)
A．－1 B．
C．－ D．1
11．下列选项正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为[－2，2]，则f(2x－1)的定义域为[－，]
B．函数y＝2x＋的值域为(－∞，]
C．函数f(x)＝x2－2x＋4在[－2，0]的值域为[4，12]
D．函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)
12．设函数f(x)的定义域为A，且满足任意x∈A恒有f(x)＋f(2－x)＝2的函数可以是(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ D．f(x)＝(x－2)3
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知函数f(x)是定义在[－1，a]上的奇函数，则a＝________，f(0)＝________．(第一个空2分，第二个空3分)
14．函数f(x)＝的零点个数是________．
15．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________.
16．设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且 x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
18．(12分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
19.(12分)已知函数f(x)＝，且f(2)＝，f(3)＝.
(1)求f(x)的函数解析式；
(2)求证：f(x)在[3，5]上为增函数；
(3)求函数f(x)在[3，5]上的值域．
20．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
21．(12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f[f(x)]＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值．
22．(12分)随着科技的发展，智能手机已经开始逐步取代传统PC，渗透进入了人们娱乐生活的各个方面，我们的生活已经步入移动互联网的时代.2021年，某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本280万，每生产x(千部)手机，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出2021年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)2021年产量为多少千部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
滚动练习三　第三章　章末质量检测
1．解析：函数f(x)＝中，令>0，得x＋1>0，即x>－1，所以f(x)的定义域是{x|x>－1}．
答案：C
2．解析：由题意得f(3)＝32－3－3＝3，那么＝，
所以f()＝f()＝1－()2＝.
答案：C
3．解析：根据题意令1－2x＝，解得x＝，故＝16，
即f()＝16.
答案：C
4．解析：A中，与直线y＝2的交点是(0，2)，不符合题意，故不正确；B中，与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C中，与直线y＝2在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D中，与直线y＝2在(－∞，0)上有交点，故正确．
答案：D
5．解析：∵f(－2)＝－28<0，f(4)＝38>0，
f(1)＝－4<0，f(2.5)＝4.625>0，
f(1.75)＝－1.515 625<0，
∴f(x)在[－2，4]上的零点必定属于[1.75，2.5].
答案：D
6．解析：因为函数f(x)＝是R上的增函数，
设g(x)＝－x2－ax－5(x≤1)，h(x)＝(x>1)，由分段函数的性质可知，函数g(x)＝－x2－ax－5在(－∞，1]上单调递增，函数h(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，且g(1)≤h(1)，
所以，所以，解得－3≤a≤－2.
答案：B
7．解析：由于函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x＝0处是断开的，故可以排除C，D；由于当x为很小的正数时，f(x)>0且g(x)<0，故f(x)·g(x)<0，可排除B.
答案：A
8．解析：由题意，f(x)在(－∞，0]上是增函数，又f(x)是定义域为R的偶函数，故f(x)在[0，＋∞)上是减函数．由f(1－2x)－f(－)>0，可得f(1－2x)>f(－)＝f()，所以－<1－2x<，解得答案：A
9．解析：A，C，D选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B不正确．
答案：ACD
10．解析：根据题意，f(x)＝
若f(x)＝1，分3种情况讨论：①当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1，解可得x＝－1；②当－1答案：AD
11．解析：对于A，由于函数f(x)的定义域为[－2，2]，对于函数f(2x－1)，－2≤2x－1≤2，解得－≤x≤，所以，函数f(2x－1)的定义域为[－，]，A选项正确；对于B，令t＝≥0，则x＝1－t2，y＝2(1－t2)＋t＝－2(t－)2＋≤，所以，函数y＝2x＋的值域为(－∞，]，B选项正确；对于C，当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈[4，12]，所以，函数f(x)＝x2－2x＋4在[－2，0]的值域为[4，12]，C选项正确；对于D，y＝＝＝－1≠－1，所以，函数y＝的值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，D选项错误．
答案：ABC
12．解析：方法一　A项f(x)＋f(2－x)＝2－x＋[2－(2－x)]＝2为定值，故A项正确；B项f(x)＋f(2－x)＝2(x－1)2不为定值，故B项错误；C项f(x)＋f(2－x)＝＋＝＝2，符合题意，故C项正确；D项f(x)＋f(2－x)＝(x－2)3－x3不为定值，故D项不正确．
方法二　因为任意x∈A恒有f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数的图象关于点(1，1)中心对称，函数f(x)＝2－x的图象是过点(1，1)的直线，符合题意；函数f(x)＝＝1＋的图象关于点(1，1)中心对称，符合题意；利用B，D中两个函数的图象都不是关于点(1，1)中心对称图形，不符合题意．
答案：AC
13．解析：根据题意，函数f(x)是定义在[－1，a]上的奇函数，则－1＋a＝0，解可得a＝1，即f(x)的定义域为[－1，1]，则f(0)＝0.
答案：1　0
14．解析：当x<0时，令2x＋3＝0，解得x＝－，
当x≥0时，令x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，所以函数共有3个零点．
答案：3
15．解析：首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0，3)，B(1，2)，C(5，8).
从图象观察可得函数f(x)的表达式：
f(x)＝
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1，2)，所以f(x)的最小值是2.
答案：2
16．解析：方法一　由已知条件得f(0)＝1，
又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
令y＝x，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
所以f(x)＝x2＋x＋1.
方法二　令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，
即f(－y)＝1－y(－y＋1)，
将－y 用x代换得f(x)＝x2＋x＋1.
答案：x2＋x＋1
17．解析：(1)由1－x2≠0，得x≠±1，
即f(x)的定义域为{x|x≠±1}．
(2)f(x)为偶函数．
证明：由(1)知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
因为 x∈{x|x≠±1}，都有－x∈{x|x≠±1}，
且f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
18．解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)图象如图所示．
19．解析：(1)函数f(x)＝，由f(2)＝，得a＋4b＝6，①
由f(3)＝，得2a＋5b＝9，②
联立①②解得a＝2，b＝1，则函数解析式为f(x)＝.
(2)任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，所以f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1＜x2≤5，所以x1－x2<0，
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2)，即f(x)在[3，5]上为增函数．
(3)由(2)知f(x)在[3，5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝，
所以函数的值域为[，].
20．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3＝(x＋)2－，对称轴为x＝－，所以函数在[－2，－]上单调递减，在[－，3]上单调递增，所以f(－)≤f(x)≤f(3)，
f(3)＝15，f(－)＝－，所以该函数的值域为[－，15].
(2)函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3的对称轴是x＝－a，
当－a＞1时，即a＜－时，函数f(x)在[－1，3]上的最大值为f(－1)＝－2a－1＝1，所以a＝－1，
当－a≤1时，即a≥－时，函数f(x)在[－1，3]上的最大值为f(3)＝6a＋3＝1，所以a＝－，
综上所述a＝－或a＝－1.
21．解析：(1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，
由于f[f(x)]＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，
故解得故f(x)＝－3x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，
故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，
当－1当a≥5时，y在x＝a处取得最大值a2－4a＋1，
综上，ymax＝
22．解析：(1)当0当x≥50时，
W(x)＝800x－(801x＋－9 450)－280＝－(x＋)＋9 170，
所以W(x)＝
(2)若0若x≥50，W(x)＝－(x＋)＋9 170≤－2＋9 170＝8 970，
当且仅当x＝时，
即x＝100时，W(x)max＝8 970万元，
因为8 970>8 720，
所以2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 970万元．
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