2023版新教材高中数学滚动练习二统计与概率（含解析）

滚动练习二　统计与概率
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为(　　)
A．7 B．15 C．25 D．35
2．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值为(　　)
A．0 B．C．D．
3．从800件产品中抽取60件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数(随机数表第7行至第9行的数如下)，则抽取的第4件产品的编号是(　　)
第7行　8442175331　5724550688　7704744767　2176335025　8392120676
第8行　6301637859　1695566719　9810507175　1286735807　4439523879
第9行　3321123429　7864560782　5242074438　1551001342　9966027954
A．169 B．556 C．671 D．105
4．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为(　　)
A．28 B．40 C．56 D．60
5．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为(　　)
A．0.9 B．0.2 C．0.7 D．0.5
6．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　)
A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品 C．至多有一件一等品 D．都不是一等品
7．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)
A．B．C．D．
8．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1－3y1＋1，2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是(　　)
A．2－3B．2－3＋1 C．4－9D．4－9＋1
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件，以下结论正确的是(　　)
A．P(A)＝P() B．P(A＋)＝1
C．若P(A)＝1，则P()＝0 D．P(A)＝0
10．小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近11周的跑步里程(单位：km)的数据，绘制了下面的折线图：
根据折线图，下列结论正确的是(　　)
A．剔除第8周数据，周跑步里程逐周增加
B．周跑步里程的极差小于20 km
C．周跑步里程的平均数低于第7周对应的里程数
D．周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数
11．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是(　　)
A．目标恰好被命中一次的概率为＋B．目标恰好被命中两次的概率为×
C．目标被命中的概率为×＋×D．目标被命中的概率为1－×
12．已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是(　　)
A．如果B A，那么P(A∪B)＝0.2，P(AB)＝0.5
B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0
C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0
D．如果A与B相互独立，那么P()＝0.4，P(A)＝0.4
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
15．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为________．
16．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；
(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对一带一路的认知程度，并谈谈你的感想．
18．(12分)某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：
　　　　
B餐厅分数频数分布表
分数区间 频数
[0，10) 2
[10，20) 3
[20，30) 5
[30，40) 15
[40，50) 40
[50，60] 35
(1)在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；
(2)从对B餐厅评分在[0，20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0，10)范围内的概率；
(3)求学生对A餐厅评分的平均数．
19．(12分)某校在教师外出培训学习活动中，一个月内派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出人数 2人及以下 3 4 5 6人及以上
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4个人或5个人培训的概率；
(2)求至少有3个人培训的概率．
20．(12分)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错的概率是，乙、丙两个家庭都回答对的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率．
21．(12分)为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
5 0　1　1　6
6 0　1　3　3　4　5　8
7 1　2　3　6　7　7　7　8
8 1　1　2　4　5　9
9 0　0　1　2　3
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
(2)从图中考核成绩满足X∈[80，89]的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
(3)记P(a≤X≤b)表示学生的考核成绩在区间[a，b]的概率，根据以往培训数据，规定当P(≤1)≥0.5时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
22．(12分)手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号 1 2 3 4 5
A型待机时间(h) 120 125 122 124 124
B型待机时间(h) 118 123 127 120 a
已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．
(1)求a的值；
(2)判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小(结论不要求证明)；
(3)从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．
(注：n个数据x1，x2，…，xn的方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数)
滚动练习二　统计与概率
1．答案：B
解析：由题意设样本容量为n，则＝，解得n＝15.
2．答案：B
解析：∵E与F相互独立，P(E)＝P(F)＝，∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝.
3．答案：D
解析：找到第8行第8列的数8，并开始向右读，每次读取三位，凡不在001～800中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从而最先抽取的4件产品的编号依次是169，556，671，105.故抽取的第4件产品的编号是105.
4．答案：B
解析：设中间一组的频数为x，则其他8组的频数和为x，所以x＋x＝140，解得x＝40.
5．答案：D
解析：设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，A，B相互独立．事件“恰有一人击中敌机”的概率为P(A＋B)＝P(A)·[1－P(B)]＋[1－P(A)]·P(B)＝0.5.
6．答案：C
解析：将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.
7．答案：C
解析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含A、B、AB，又P(A)＝，P(B)＝，所以事件A、B中至少有一件发生的概率为P＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P()＝1－(1－)×(1－)＝，故选C.
8．答案：B
解析：由题意结合平均数的性质可知：
2x1，2x2，…，2xn的平均数为2，
－3y1，－3y2，…，－3yn的平均数为，
则2x1－3y1＋1，2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数为2－3＋1.
9．答案：BCD
解析：P(A)＝P()错误，A错误；由对立事件的概念得A＋＝Ω，即P(A＋)＝P(Ω)＝1，B正确；由对立事件的性质P(A)＋P()＝1知，P(A)＝1－P()，故若P(A)＝1，则P()＝0，C正确；由对立事件的概念得A＝ ，即P(A)＝P( )＝0，D正确．
10．答案：BCD
解析：剔除第8周数据，周跑步里程逐周有增有减，A错误；周跑步里程的极差比20 km小，B正确；周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数，D正确；第7周对应的里程数为15 km，观察数据，知周跑步里程的平均数比15 km小，C正确．
11．答案：BD
解析：目标恰好被命中一次的概率应该为×＋×＝，A错误；B正确；目标恰好被命中一次的概率为×＋×，恰好被命中两次的概率为×，所以目标被命中的概率应是两式之和，C错误；目标没有被命中的概率为×，所以被命中的概率为1－×，D正确．
12．答案：BD
解析：如果B A，那么P(A∪B)＝0.5，P(AB)＝0.2，故A选项错误；如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0，故B选项正确；如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.6，P(AB)＝0.1，故C选项错误；如果A与B相互独立，那么P()＝P()·P()＝0.4，P(A)＝P(A)·P()＝0.4，故D选项正确．
13．答案：15
解析：应从高二年级学生中抽取50×＝15名学生．
14．答案：0.98
解析：＝＝0.98.
15．答案：
解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，所以未遇到红灯的概率都是1－＝，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为××＝.
16．答案：(1)0.004 4　(2)70
解析：(1)由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4；
(2)数据落在[100，250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以月用电量在[100，250)内的用户数为100×0.7＝70.
17．解析：(1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝＝100.
(2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30，35)内，
由30＋＝≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.
(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为＝91，
这10人成绩的平均数为(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.
评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．
感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可．
18．解析：(1)由A餐厅分数的频率分布直方图，得
对A餐厅评分低于30的频率为(0.003＋0.005＋0.012)×10＝0.2,
所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20.
(2)对B餐厅评分在[0，10)范围内的有2人，设为M1，M2，
对B餐厅评分在[10，20)范围内的有3人，设为N1，N2，N3
从这5人中随机选出2人的选法为：
(M1，M2)，(M1，N1)，(M1，N2)，(M1，N3)，(M2，N1)，(M2，N2)，(M2，N3)，(N1，N2)，(N1，N3)，(N2，N3)共10种，
其中，恰有1人评分在[0，10)范围内的选法为：(M1，N1)，(M1，N2)，(M1，N3)，(M2，N1)，(M2，N2)，(M2，N3).共6种.
故2人中恰有1人评分在[0，10)范围内的概率为P＝＝.
(3)平均数为：0.03×5＋0.05×15＋0.12×25＋0.2×35＋0.2×45＋0.4×55＝0.15＋0.75＋3＋7＋9＋22＝41.9.
19．解析：(1)设有2人及以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件有一个发生的概率加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4，即有4个人或5个人培训的概率为0.4.
(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率公式可知要求的概率为P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
20．解析：(1)记“甲家庭答对这道题”“乙家庭答对这道题”“丙家庭答对这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，
且有
即
所以P(B)＝，P(C)＝.
(2)有0个家庭回答对的概率为
P0＝P()＝P()·P()·P()＝××＝，
有1个家庭回答对的概率为P1＝P(A＋B＋C)＝××＋××＋××＝，
所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为
P＝1－P0－P1＝1－－＝.
21．解析：(1)设这名学生考核优秀为事件A，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率P(A)约为.
(2)设从图中考核成绩满足X∈[80，89]的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件B，因为表中成绩在[80，89]的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间Ω包含15个基本事件，它们是(81，81)，(81，82)，(81，84)，(81，85)，(81，89)，(81，82)，(81，84)，(81，85)，(81，89)，(82，84)，(82，85)，(82，89)，(84，85)，(84，89)，(85，89).
事件B包含9个基本事件，它们是(81，85)，(81，89)，(81，85)，(81，89)，(82，85)，(82，89)，(84，85)，(84，89)，(85，89).
所以P(B)＝＝.
(3)根据表格中的数据，满足≤1的成绩有16个，
所以P(≤1)＝＝>0.5，
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
22．解析：(1)A＝120＋＝123(h)，
B＝120＋，
由A＝B，解得a＝127.
(2)设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为s，s，
则s(3)设A型号手机为A1，A2，A3，A4，A5；B型号手机为B1，B2，B3，B4，B5，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C.
从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．
抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：
(A1，B1)，(A1，B4)，(A3，B1)，(A3，B4)，共4种．
因此，P()＝，所以P(C)＝1－P()＝.
所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是.
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