1.1集合 单元练习（含解析）

集合
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．考察下列每组对象，能构成集合的是(　　)
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2020年1月1日，参加“一带一路”的国家．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
2．已知集合 A＝{0，3}，B＝{0，3，4}，C＝{1，2，3}，则(B∪C)∩A＝(　　)
A．{0，1，2，3，4} B．
C．{0，3} D．{0}
3．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)
A．{a} A B．a A
C．{a}∈A D．a A
4．设集合A＝{x|x2－16＝0}，B＝{x|x2－2x－8＝0}，记C＝A∪B，则集合C的真子集个数是(　　)
A．3 B．4
C．7 D．8
5．设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则( ZM)∩N等于(　　)
A．{0，1} B．{－1，0，1}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
6．50个学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为(　　)
A．20 B．14
C．12 D．10
7．设集合A，B≠ ，定义集合 A－B＝{x|x∈A，x B}，则集合A－(A－B) 是(　　)
A．B B．A
C．A∪B D．A∩B
8．已知集合 M＝{x|ax2－6x＋8＝0，a∈R}，若M中只有一个元素，则a的值是(　　)
A．0 B．
C．0或 D．－
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则(　　)
A．A∩B＝{0，1}
B． UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4}
D．集合A的真子集个数为8
10．已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则A可以是(　　)
A．{1，8} B．{2，3}
C．{1} D．{2}
11．若集合A＝{x|1≤x＜2}，B＝{x|x＞b}，且A∩B＝A，则实数b的值可以是(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
12．若集合M N，则下列结论正确的是(　　)
A．M∩N＝N B．M∪N＝N
C．M∈(M∩N) D．(M∪N) N
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知集合A＝{7，2m－1}，B＝{7，m2}，且A＝B，则实数m＝________．
14．设集合A＝{x|－10}，则A∩B＝________，( RB)∪A＝________．
15．已知集合 A＝{1，2，}，B＝{1，m}，若 B A，则 m＝ ________， AB＝ ________．
16．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况，第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品：前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网站：
①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；
②这三天售出的商品最少有________种．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)已知全集U为R，集合A＝{x|01}．求：
(1)A∩B；
(2)( UA)∩( UB)；
(3) U(A∪B).
18．(12分)已知集合A＝{x|－4(1)若A∩B＝ ，求实数 a 的取值范围；
(2)若A∪B＝A，求实数 a 的取值范围．
19.(12分)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x≤－2或x≥6}．
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．
20．(12分)已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，B＝{x|x2＋3x－2＝0}．
(1)若A≠ ，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
21．(12分)已知全集U＝R，A＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，B＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}．
(1)若b＝4时，存在集合M使得A M B，求出所有符合条件的集合M；
(2)集合A，B是否能满足( UB)∩A＝ ？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．
22．(12分)若集合A具有以下性质：
①0∈A，1∈A；
②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A 是“好集”．
(1)分别判断集合B＝{－1，0，1}，有理数集Q是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A 是“好集”，求证：若 x，y∈A，则 x＋y∈A；
(3)设集合A 是“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由．
命题p：若 x，y∈A，则必有 xy∈A；
命题q：若 x，y∈A，且 x≠0，则必有 ∈A.
集合单元练习
1．解析：①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
答案：B
2．解析：B∪C＝{0，1，2，3，4}，
所以(B∪C)∩A＝{0，1，2，3，4}∩{0，3}＝{0，3}．
答案：C
3．解析：a＝2 N.
答案：D
4．解析：A＝{4，－4}，B＝{－2，4}，C＝{4，－4，－2}，C的真子集的个数是7个．
答案：C
5．解析：由已知，得 ZM＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，所以( ZM)∩N＝{－1，0，1}．故选B.
答案：B
6．解析：用Venn图表示如图：
共有50人，设既会讲英语又会讲日语的有x人，则36－x＋x＋20－x＋8＝50.解得x＝14.
答案：B
7．解析：由题意集合A－B是由所有属于A，且不属于B的元素组成，即在集合A中需去掉属于B的元素，集合A中属于B的元素可表示为A∩B，
故A－B＝A－A∩B，
若设C＝A－B，则C∪(A∩B)＝A，
且C∩(A∩B)＝ ，于是A－(A－B)＝A－C＝A∩B.
答案：D
8．解析：当a＝0 时，方程 ax2－6x＋8＝0 只有一个实数根，满足题意；
当a≠0 时，由题意得 Δ＝(－6)2－32a＝0，解得 a＝.
答案：C
9．解析：由题意，A∩B＝{0，1}，A正确； UB＝{2，4}，B不正确；A∪B＝{0，1，3，4}，C正确；集合A的真子集个数有23－1＝7，D不正确．
答案：AC
10．解析：∵A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，
∴B∩C＝{1，8}，∴A (B∩C) A {1，8}，故选AC.
答案：AC
11．解析：因为A∩B＝A，所以A B，所以b＜1.
答案：AB
12．解析：∵集合M N，
∴在A中，M∩N＝M，故A错误；
在B中，M∪N＝N，故B正确；
在C中，M (M∩N)，故C错误；
在D中，M∪N＝N N，故D正确．
答案：BD
13．解析：若A＝B，则m2＝2m－1，即m2－2m＋1＝0，即m＝1.
答案：1
14．解析：因为A＝{x|－10}，所以A∩B＝{x|0答案：{x|015．解析：由题意，当m＝2时，A＝{1，2，}，B＝{1，2}，满足B A；
当＝m，即m＝0或1时，若m＝0，则A＝{1，2，0}，B＝{1，0}，满足 B A.
若m＝1，则A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m＝1 舍去．
当m＝2 时， AB＝{}；当 m＝0 时， AB＝{2}．
答案：0或2　{2}或{}
16．解析：因为第一天和第二天都卖出商品有3种，所以第一天出售但是第二天未出售的商品有16种；
因为第一天和第二天共同出售3种，第三天和第二天共同出售4种，那么这三天最少卖出29种，即第一天的16种商品里面包含第三天剩余的14种．
答案：16　29
17．解析：(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1(2) UA＝{x|x≤0或x>2}， UB＝{x|－3≤x≤1}．
在数轴上画出集合 UA和 UB，可知( UA)∩( UB)＝{x|－3≤x≤0}．
(3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x<－3或x>0}．
所以 U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．
18．解析：(1)B的方程的解为a或3a，
∵A∩B＝ ，∴a>0，则有a≥6；a＝0，不满足；a<0，则有a≤－4，
综上所述，a≥6或a≤－4；
(2)∵A∪B＝A，
∴B A，
∴－4∴－19．解析：(1)集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x≤－2或x≥6}．若A∩B＝ ，则A＝ 或
A＝ 时不成立，所以解不等式组得－2所以a的取值范围是(－2，3).
(2)若A∪B＝B，则A B，所以A＝ 或a＋3≤－2或a≥6，
A＝ 不成立，所以解不等式得a≤－5或a≥6.
所以a的取值范围是(－∞，－5]∪[6，＋∞).
20．解析：(1)∵A≠ ，当a＝1时，A＝，符合题意；
当a≠1，(a－1)x2＋3x－2＝0有实数根，
故Δ＝9＋8(a－1)≥0，解得a≥－，且a≠1.
综上可得，实数a的取值范围是[－，＋∞).
(2)由题可得，B＝，
∵A∩B＝A，∴A B，
由(1)知a＝1时，不满足题意，
∴a≠1，
若Δ＝9＋8(a－1)<0，即a<－，A＝ ，满足题意；
若Δ＝0，即a＝－，A＝，不满足A B，舍去；
若Δ>0，即a>－，A＝，根据根与系数的关系，解得a＝2.
∴实数a的取值范围为.
21．解析：B＝{－4，1，2}．
(1)当b＝4时，A＝ .∴M≠ 且M?B.
∴符合题意的集合M有6个，分别是{－4}，{1}，{2}，{－4，1}，{－4，2}，{1，2}．
(2)能．理由如下，
由题意知，A B，
①若A＝ ，则Δ＝(－3)2－4b＝9－4b<0，
∴b>.
②若A≠ ，则方程x2－3x＋b＝0有实根，设为x1，x2.
由根与系数的关系知，x1＋x2＝3，
又A B，∴A＝{1，2}．
∴由根与系数的关系得b＝1×2＝2.
∴综上，.
22．解析：(1)集合B不是“好集”．
理由：
假设集合B是“好集”．
因为－1∈B，1∈B，
所以－1－1＝－2∈B，这与－2 B矛盾．
所以集合B不是“好集”．
有理数集Q是“好集”．
理由：
因为0∈Q，1∈Q，
对任意的x，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，
所以有理数集Q是“好集”．
(2)证明：因为集合A是“好集”，
所以0∈A.
若x，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，
所以x－(－y)∈A，
即x＋y∈A.
(3)命题p，q 均为真命题．
理由如下：
任取x，y∈A，
若x，y 中有 0 或 1 时，显然 xy∈A.
若x，y 均不为 0，1，由定义可知 x－1，，∈A，
所以－∈A，
即∈A，
所以x(x－1)∈A.
由(2)可得x(x－1)＋x∈A，即x2∈A.
同理可得y2∈A.
若x＋y＝0或x＋y＝1，则(x＋y)2∈A.
若x＋y≠0且x＋y≠1，则(x＋y)2∈A.
所以2xy＝(x＋y)2－x2－y2∈A，
所以∈A.
由(2)可得＝＋∈A，
所以xy∈A.
综上可知，xy∈A，即命题p为真命题．
若x，y∈A，且x≠0，则∈A，
所以＝y·∈A，即命题 q 为真命题．
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