高中数学人教A版（2019）必修第一册1.1集合的概念（能力篇）(含答案)

一、单选题
1．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
3．设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（　　）
A． B． C． D．
4．若集合A具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A；
(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A．
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　)
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为(　　)
A．1 B．0
C．0或1 D．以上答案都不对
6．已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．或4 B．2 C．-2 D．4
二、多选题
7．设为实数集的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题正确的是（ ）
A．自然数集为封闭集
B．整数集为封闭集
C．集合S={为整数为封闭集
D．若为封闭集，则一定有
8．若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（ ）
A．集合是“完美集”
B．有理数集是“完美集”
C．设集合是“完美集”，、，则
D．设集合是“完美集”，若、且，则
三、填空题
9．若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为______ .
10．已知集合，且，则实数的值为___________.
11．给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为；
②方程的解集为；
③集合与是不相等的．
其中正确的是______（填序号）．
12．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”.
（1）且；（2）若、，则，且当时，有.
给出以下命题：
①集合是“好集合”；
②是“好集合”；
③是“好集合”；
④是“好集合”；
⑤设集合是“好集合”，若、，则；
其中真命题的序号是________.
四、解答题
13．已知集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合；
（3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围.
14．（1）如果集合，，证明：．
（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
15．设数集由实数构成，且满足：，若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
16．已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．
(1)当；
(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；
(3)当M是两个元素的集合.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】对由x，y的正负分四种情况去绝对值讨论即可.
【详解】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是.
综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.
故选：C
【点睛】本题考查绝对值的运算，属于基础题.
2．C
【分析】先求出集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x＜2，且x≠0}，从而CUB={x|x≥2或x=0}，由此能求出图中阴影部分表示的集合A∩（CUB）．
【详解】图中阴影部分表示的集合为．
∵，，∴，，∴．故选C．
【点睛】在解题时，需要清楚元素与集合的关系以及集合间的关系，能使用Venn图表达集合的关系及运算．
3．D
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出结果．
【详解】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A B．故选D．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．C
【分析】逐一判断给定的3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案.
【详解】(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2 B，这与－2∈B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.
【点睛】本题以新定义的形式考查了元素与集合关系的判断，同时考查了运算求解的能力.
5．C
【详解】当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k＝1.故k＝0或k＝1.选C.
6．C
【解析】由集合元素的特性和2属于集合A，直接计算判断求解即可得出答案.
【详解】由集合，可得，则得，，又因为可得，解得，即C选项正确.
故选：C.
【点睛】本题考查了集合元素特性的利用，考查了由元素属于集合求参数的问题，属于一般难度的题.
7．BCD
【分析】根据新定义，判断各选项正误即可
【详解】A：对于自然数集，如：，故不是封闭集.
B：整数集，任何，，都有，，成立，是封闭集.
C：且，，即令，且，有，，，是封闭集.
D：为封闭集，若，则S，正确.
故选：BCD
【点睛】本题考查了新定义问题，根据对定义的理解判断各选项的正误，属于中档题.
8．BCD
【解析】利用第（2）条性质结合，可判断A选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B选项的正误；当时，推到出，结合性质（2）可判断C选项的正误；推导出，结合性质（2）可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，取，，则，集合不是“完美集”，A选项错误；
对于B选项，有理数集满足性质（1）、（2），则有理数集为“完美集”，B选项正确；
对于C选项，若，则，，C选项正确；
对于D选项，任取、，若、中有或时，显然；
当、均不为、且当，时，，
则，所以，，，，
所以，若、且，则，从而，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
9．
【分析】不妨设，可得最大、最小元素之差不超过，而所有元素之和大于，得到，列出方程，即可求解.
【详解】不妨设，可得最大、最小元素之差不超过，
而所有元素之和大于，不符合条件，所以，即为最小元素，
于是，解得.
【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
10．或0.
【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案.
【详解】若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去
若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去；
故答案为：或0.
【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题.
11．①③
【分析】根据题意，结合集合的表示方法，逐项判定，即可求解，得到答案．
【详解】对于①中，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点，所以①正确；
对于②中，方程的解为，解集为或，所以②不正确；
对于③中，集合，集合，这两个集合不相等，所以③正确．
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中熟记集合的表示方法——列举法、描述法，以及集合表示方法的改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
12．③④⑤
【解析】取，结合（1）可判断①的正误；取结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由，可推导出，再结合（1）可判断⑤的正误.
【详解】对于命题①，，，但，①错误；
对于命题②，，但，②错误；
对于命题③④，显然，集合、均满足（1）（2），所以，、都是“好集合”，③④正确；
对于命题⑤，当时，由于，则，
当，则，⑤正确.
故答案为：③④⑤.
【点睛】解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
13．（1）；（2）实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3）
【分析】（1）方程无解，则，根据判别式即可求解；
（2）分方程无解或者一个解讨论即可；
（3）由题意可知有两个不等的实根，由判别式求解即可.
【详解】（1）若A是空集，则方程无解，
此时 且，即，
所以的取值范围为；
（2）若A中至多有一个元素，
则方程有且只有一个实根或者无解，
若方程有且只有一个实根，则
当时，方程为一元一次方程，满足条件，
当时，此时，解得：，
若方程无解，由（1）可知，
综上可知：若A中至多有一个元素，则实数的取值为；
当时，；当时，；当时，；
（3）若A中至少有两个元素，则有两个不等的实数根，
此时 且，解得且，
所以a的取值范围是.
14．（1）证明见解析；（2）（答案不唯一）.
【分析】(1)设，，，计算即可得．
(2)设（整数m，n互素），则有，由题意可得当时，且，只需m，n取互素的整数即可.
【详解】解:（1）证明：因为，
所以可设，，其中，，，，
则．
由，，，，可知，，
因此．
（2）设，则（整数m，n互素），
所以．
若，则与是互素的整数．
又m与n互素，所以，
所以当m，n互素，且时，且．
如取，，得，．
综上，存在x，使得x与都属于集合B，如．（注：x的取值不唯一．）
15．（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）.
【分析】（1）求出中另外两个元素为，，即得证；
（2）说明集合中至少有3个元素即得解；
（3）A中所有元素积为1，从而求出x，进而求出m的值为、3、，由此能求出集合A．
【详解】（1）证明：若x∈A，则
又∵2∈A，∴
∵-1∈A，∴
∴中另外两个元素为，；
（2），，，且，，
，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；
（3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．
∴x∈A，，，
，，，
∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，
且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，
∴，
∵，∴2∈A，∴，∴∈A，
设m＝a，同理得∈A，∈A，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，
∴、3、，
∴．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由判别式小于0可得（方程为一元二次方程）；
（2）由二次项系数为0或一元二次方程的判别式为0柯得；
（3）由方程为一元二次方程，且判别式大于0可得．
（1）
，，，所以的范围是；
（2）
时，，满足题意，
，，此时，满足题意，
（3）
由题意方程有两个不等实根，且，解得且，
所以的范围是，．
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