高中数学人教A版（2019）必修第一册1.1集合的概念（拓展篇）(含答案)

一、单选题
1．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
3．非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
4．设a，b，c为实数，
记集合若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（　　）
A．{S}=1且{T}=0 B．{S}=1且{T}=1 C．{S}=2且{T}=2 D．{S}=2且{T}=3
5．若正方体的棱长为1，则集合中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有.下列结论中正确的是
A．若，则
B．若且，则
C．若，则
D．若且，则
二、多选题
7．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ）
A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1
C．若，则 D．若n=1，则
8．当一个非空数集满足“如果,则,且时,”时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有
A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤
三、填空题
9．用表示非空集合中元素的个数，定义若，且，设实数的所有可能取值构成集合，则_______.
10．已知有限集，如果中元素满足，就称为“完美集”.
①集合不是“完美集”；
②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；
③二元“完美集”有无穷多个；
④若，则“完美集”有且只有一个，且；
其中正确的结论是________(填上你认为正确的所有结论的序号)
11．若集合是单元素集（集合的元素个数是1），则实数=______
12．已知集合A＝｛（x，y）｜｝，B＝｛（x，y）｜｝，设集合M＝｛（x1＋x2，y1＋y2）｜｝，则集合M中元素的个数为__________．
四、解答题
13．设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质.
(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合；
(2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质；
(3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由.
14．称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；
（3）求an=30时n的最大值.
15．设数集由实数构成，且满足：若（且），则 ．
（1）若，试证明集合中有元素，；
（2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由；
（3）若集合中的元素个数不超过8，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
16．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出A中其他所有元素．
(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】分别考虑集合为单元素集、双元素集、三元素集、四元素集，然后分别计算出的取值，由此确定出集合中的元素的个数.
【详解】当集合为单元素集时，可取，此时可取；
当集合为双元素集时，可取，此时可取；
当集合为三元素集时，可取，此时可取，
当集合为四元素集时，可取，此时可取，
综上可知可取，共个值，所以的元素个数为，
故选：B.
【点睛】本题考查集合中的新定义问题，对学生的理解与分析问题的能力要求较高，难度较难.解答新定义的集合问题，首先要明确集合中表示元素的含义，其次才是解答问题.
2．D
【分析】①根据，得出，即；
②根据，证明，即；
③根据，，证明．
【详解】解：集合，，，
对于①，，，
则恒有，
，即，，则，①正确；
对于②，，，
若，则存在，使得，
，
又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，
，即，②正确；
对于③，，，
可设，，、；
则
那么，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选．
【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．
3．C
【分析】假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.
故选：C.
【点睛】本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于较难题.
4．D
【详解】∵当时至少有一个根，
当时，还有一根，只要b≠﹣2a，就有2个根；
当b=﹣2a，是一个根
当时，只有一个根；
当时，只有二个根或三个根；
当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0
当a＞0，b=0，c＞0时，{S}=1且{T}=1
当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2
故选：D
5．A
【分析】将代入,结合和()化简即可得出集合中元素的个数.
【详解】
①当时
正方体
故: ()
故: ()
中元素的个数为.
②时
此时中元素的个数为.
综上所述, 中元素的个数为.
故选:A.
【点睛】本题中将化简成和结合时,是解本题的关键.
6．A
【详解】试题分析：对于即有，令k=，有-α＜k＜α，不妨设，即有-α1＜kf＜α1，-α2＜kg＜α2，因此有-α1-α2＜kf+kg＜α1+α2，因此有．故选A．
考点：本题考查了元素与集合关系的判断
点评：本题的难点进行简单的合情推理，在能力上主要考查对新信息的理解力及解决问题的能力
7．BC
【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可
【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.
∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；
同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： .
对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；
对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；
对于C: 若，有，解得：，故C正确；
对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.
8．AD
【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证.
【详解】①当时，由数域的定义可知，
若，则有，即，
故①是真命题;
②当时，由数域的定义可知，
若，则有，即，
若，则，则，
则，故②是真命题；
③当时，，故③是假命题；
④若，则，且时,
，故④是真命题；
⑤，当且时，则，
因此只要这个数不为就一定成对出现，
所以有限数域的元素个数必为奇数，所以⑤是真命题.
故选：.
【点睛】本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关键，题目着重考查学生的构造性思维，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题.
9．3
【分析】由新定义得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程根的个数，即等价于研究两个方程、根的个数.
【详解】等价于①或②.
由，且，得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合.
若集合是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，可得；
若集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得.
综上所述，或，所以.
【点睛】本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，对逻辑思维能力要求较高.
10．②③④
【分析】对于①,根据定义检验与是否相等即可.
对于②根据韦达定理即可判断是否正确.
对于③根据②可知,二元完美集可以看成一元二次方程对应的两个根,所以有无数组.
对于④,检验当时,求得完美集的个数;同时检验当时不存在完美集即可.
【详解】对于①, 根据定义.则,
则,所以集合是“完美集”,则①错误;
对于②,设,由韦达定理可知
可以看成一元二次方程
则,解得或(舍)
即,所以至少有一个大于2,所以②正确;
对于③,根据②可知一元二次方程当取不同值时, 的值是不同的.而有无穷多个值,因而二元“完美集”有无穷多个,所以③正确;
对于④,设 ,则
所以
所以当时,
因为
所以只能是,由代入解得,所以此时完美集只有一个为,所以④正确;
故答案为: ②③④
【点睛】本题考查了元素与集合的关系,正确理解题意解决问题的关键,对理解能能力和分析解决问题能力要求较高,属于难题.
11．或或.
【分析】时，，集合，满足题意，时，方程有两相等实根，由判别式，能求出实数的值.
【详解】时，，，
方程只有一个解，集合，满足题意，
时，方程有两相等实根，判别式，
即，整理得，
解得或，
所以实数的值为或或，
故答案为：或或.
【点睛】该题考查的是有关根据集合中元素的个数求参数的取值的问题，在解题的过程中，注意对最高次项系数是否为零进行讨论，属于较难题目.
12．59
【详解】试题分析：由题意知，，B中有个元素，当时，B中的元素都在M中；当时，M中元素各增加7个；当时，M中元素各增加5个，所以M中元素共有个．
考点：集合中的元素个数问题．
【思路点睛】先分析出集合A和B中的元素，从A中的元素逐个分析，当时，B中的元素都在M中，当时，M中元素在原来基础上多横坐标为3和-3的7个，当时，M中元素在原来基础上多纵坐标为4和-4的5个，再算总数．
13．(1);
(2)证明见解析;
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据题意直接写出即可.
（2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可.
（3）由题意可知，且不是单元素集，令，,且 ，则可分别说明当与当时矛盾.
（1）
（2）
若集合具有性质，不妨设,
由非空数集具有性质，有.
①若,易知此时集合具有性质.
②若实数集只含有两个元素，不妨设，
由，且，解得，此时集合具有性质.
③若实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，
则有,由于集合具有性质，
所以有，这说明集合具有性质.
（3）
不存在具有性质的非空实数集,使得集合具有性质.
由于非空实数集具有性质,令集合,
依题意不妨设.
因为集合具有性质,所以.
若,则,否则,这与矛盾.
故集合不是单元素集.
令,且 ，
①若,可得,即,这与矛盾;
②若,由于,所以,因此,这与矛盾.
综上可得:不存在具有性质的非空实数集,使得集合具有性质.
14．（1）{1，3，6}不具有，{1，3，4，12}具有；（2）证明见解析；（3）8
【分析】(1)根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证两集合集{1，3，6}与{1，3，4，12}中的任何两个元素的积、商是否为该集合中的元素；(2)运用反证法，结合A具有性质P，即可得证;(3)运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n的最大值.
【详解】（1）由于3×6与均不属于数集{1，3，6}，∴数集{1，3，6} 不具有性质P；
由于1×3，1×4，1×12，3×4，，都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，3，4，12} 具有性质P.
（2）证明：设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P，
即有对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.
运用反证法证明.假设存在一个数ai不是an的因数，
即有aian与或，都不属于A，这与条件A具有性质P矛盾.
故假设不成立.
则对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；
（3）由（2）可知，均为的因数，
由于30=2×3×5，由组合的知识可知2，3，5都有选与不选2种可能.
共有2×2×2=8种，即n的最大值为8.
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查推理能力，以及反证法的运用，组合知识的运用，属于中档题.
15．（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3）
【分析】（1）由，可得，从而，由此得到结论；
（2）由，可推得，，，，，即可得到集合中至少有3个元素；
（3）由集合中所有元素的积为1，从而得出，进而求得的值，由此能求得集合．
【详解】（1）由题意，因为，可得．
因为，则．所以集合中有元素，．
（2）由题意，可知若（且），
则，，且，，，
故集合中至少有3个元素．
（3）由集合中的元素个数不超过8，所以由（2）知中有6个元素．
设，，且，且，
因为集合中所有元素的积为1，
不妨设，或，或．
当时，（舍去）或；若，则．
∵集合中所有元素的和为，∴，
∴，即，
即，即，
∴或3或，∴．
当或时，同理可得．
综上，．
【点睛】本题主要考查了集合定义、集合的表示方法，以及集合中元素的个数的求法等知识的综合应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．
16．(1)A中其他所有元素为，，2
(2)0不是A中的元素，答案见解析
(3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
【分析】（1）把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解.
（2）假设，计算并导出矛盾得0不是的元素，取，求出集合中元素即可.
（3）由（2）可观察出中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可.
（1）
由题意，可知，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2．
（2）
假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A中的元素．
取，则，，，，
所以当时，A中的元素是3，，，．
（3）
猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
由（2）知0，，
若，则，与矛盾，
则有，即，0，1都不在集合A中．
若实数，则，，
，．
结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．
显然，否则，即，无实数解．
同理，，即A中有4个元素．
所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
答案第1页，共2页
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