高中数学人教A版（2019）必修第一册1.2集合间的基本关系（拓展篇）(含答案)

一、单选题
1．已知集合其中，，其中则与的关系为
A． B． C． D．
2． 如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．记集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称 (A，B) 为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B) 和 (B，A) 为不同的有序集合对)，那么M中 “有序集合对”(A，B) 的个数是
A．50 B．54 C．58 D．60
3．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：
①若，则；
②若，则中至少有8个元素；
③若，则中元素的个数一定为偶数；
④若，则.
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
4．对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A． B．AB=C C．ABC D．BCA
二、填空题
7．已知集合．给出如下四个结论：
①，且；
②如果，那么；
③如果，那么对于，则有；
④如果，，那么．
其中，正确结论的序号是__________．
8．，非空集合，是的子集，且，使得都有，则满足条件的集合对共___________对.
9．已知，集合，集合所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为____________．
10．用表示非空集合中元素的个数，定义若，且，设实数的所有可能取值构成集合，则_______.
三、解答题
11．已知函数，集合．
（1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围；
（2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围．
12．设，，函数.
（Ⅰ）设不等式的解集为C，当时，求实数取值范围；
（Ⅱ）若对任意，都有成立，试求时，的值域；
（Ⅲ）设，求的最小值．
13．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.
（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；
（2）已知集合，根据提示解决问题.
①求集合所有非空子集的元素和的总和；
提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和.
②求集合所有非空子集的交替和的总和.
14．设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数.
（1）直接判断集合和是否为的自邻集；
（2）比较和的大小，并说明理由；
（3）当时，求证：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】先任取，分同为奇数或同为偶数和一奇一偶两种情况向集合B进行变形，得到形式，说明同理任取，变形为说明得到.
【详解】任取
当同为奇数或同为偶数时，
当一奇一偶时，
因为所以，
所以
所以
任取，
，
所以
所以
故选：A
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用，还考查了转化化归分类的思想，属于难题.
2．B
【详解】当时，可以是集合的非空子集，有个．同理，当或或时的情况类似，则总共有28种可能情况；
当时，可以是集合的非空子集，有个．当的情况类似，则总共有6种可能情况；
当时，可以是集合的非空子集，有个．当的情况类似，则总共有6种可能情况；
当时， ．当或或或或或或或或的情况类似，则总共有10种可能情况；
当时， ．当或或的情况类似，则总有4种可能．
综上可得，符合条件的“有序集合对”有28+6+6+10+4=54种可能，故选B
3．C
【分析】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.
所以当，则有，，，
进而有：，，，
①若，则，正确；
②若，则，，，能确定4个元素，不正确；
③根据题意可知，，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确；
④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，，，，即，故正确，
综上：①③④正确.
故选C.
点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减；
（2）对称：①变为，则图象关于y轴对称；
②变成，则图象关于x轴对称；
③变成，则图象关于原点对称；
④变成，则将x轴正方向的图象关于y轴对称；
⑤变成，则将x轴下方的图象关于x轴对称.
【详解】
4．C
【详解】由题意，当 都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ；
若 都是正奇数，则由 ，可得 ，此时符合条件的数对为（ 满足条件的共8个；
若不全为正奇数时， ，由 ，可得 ，则符合条件的数对分别为 共5个；
故集合 中的元素个数是13，
所以集合的真子集的个数是
故选C．
【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，
5．D
【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
【详解】集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
6．B
【分析】先将A,B,C三个集合里面的分母统一为6，再去比较每个集合的关系.
【详解】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得AB=C．
故选B.
【点睛】此题考查和整数相关的集合的性质，比较灵活，属于较难题.
7．①②④．
【解析】①：举例子可证，由的性质可知，其结果为奇数或能被4整除的偶数，即可判断；②由可得；③当时，由①可得；④设，则由.
【详解】解：①：，由的奇偶一致，若同为奇数，此时为奇数；
若同为偶数，此时为偶数，且能被4整除，因此.当时，，
所以.综上所述，①正确.
②：因为，所以，即，则②正确.
③：假设③正确，则对于，成立，当时，，
由①知，为奇数或能被4整除的数，因此，故③错误；
④：设，则
，
即，所以④正确.
故答案为: ①②④.
【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，考查了运算求解能力和化归思想.
8．70
【分析】根据题意，按照集合A中元素的最大值分3种情况讨论，求出每种情况下集合对数量，由加法原理计算可得答案.
【详解】解：根据题意，分3种情况讨论：
①A中最大的元素为2，此时或，共有2种情况，B只有1种情况，则此时集合对有对；
②A中最大的元素为3，此时或或或，A有4种情况，B有4-1=3种情况， 则此时集合对有对；
③A中最大的元素为4，此时或或或或或或或，A有8种情况，B有8-1=7种情况， 则此时集合对有对；
则符合题意为集合对有2+12+56 =70对，
故答案为：70.
【点睛】本题考查集合的子集，集合间的关系，属于较难题.
9．19
【分析】求出的所有非空子集中的最小元素的和，利用，即可求出最小正整数的值.
【详解】当时，的所有非空子集为：，，，
所以.
当时，.
当时，
当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有个元素，
共有个非空子集，.
当最小值为时，不含，含，共有个元素，
有个非空子集，.
……
所以…….
因为，，即.
所以使得的最小正整数的值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了数列前项和的求法，同时考查了集合的子集的概念，属于难题.
10．3
【分析】由新定义得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程根的个数，即等价于研究两个方程、根的个数.
【详解】等价于①或②.
由，且，得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合.
若集合是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，可得；
若集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得.
综上所述，或，所以.
【点睛】本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，对逻辑思维能力要求较高.
11．（1）；（2）.
【分析】（1）将函数解析式变形为，根据对称性可知集合中的个整数只能是、、，然后对与的大小进行分类讨论，结合题意可得出实数的取值范围；
（2）对与的大小进行分类讨论，结合可得出所满足的不等式，结合的取值范围，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）.
因为集合中有且仅有个整数，则，即.
①若，即当时，，
由于与的平均数为，则，则中的个整数只可能是、、，；
②，即当时，，
由于与的平均数为，则，则中的个整数只可能是、、，.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）①若，即时，则，，
，则，得；
②当时，即当时，，
则，
，则，得，
，可得，，
，，此时；
③若，即当时，，
则，
，则，得，
所以，则，解得，此时，
，，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用不等式的整数解求参数，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，属于难题.
12．（Ⅰ）（Ⅱ）．（Ⅲ）当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为
【分析】（Ⅰ）根据，且，可知满足题意的条件为使函数与轴的两个交点横坐标，可得关于m的不等式组，解不等式组即可得m的取值范围；
（Ⅱ）根据可得对称轴，即可求得m的值．则二次函数在B集合内的值域即可求出；
（Ⅲ）对分类讨论，在的不同取值范围下讨论的单调性，即可求得在不同取值范围时的最小值．
【详解】（Ⅰ），因为，二次函数图象
开口向上，且恒成立，故图象始终与轴有两个交点，由题意，要使这两个
交点横坐标，当且仅当
， 解得
（Ⅱ）对任意都有，所以图象关于直线对称
所以，得
所以为上减函数．
；．
故时，值域为．
（Ⅲ）令，则
（i）当时，，
当，则函数在上单调递减，
从而函数在上的最小值为．
若，则函数在上的最小值为，且．
（ii）当时，函数
若，则函数在上的最小值为，且
若，则函数在上单调递增，
从而函数在上的最小值为．
综上，当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为
【点睛】本题考查了二次函数根的分布，二次函数的对称性及值域，含参数二次函数的最值与单调性综合应用，属于难题．
13．（1）12；（2）①672，②192
【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.
（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M中各数字出现的次数，即可得答案.
②分别求得集合的交替和总和，根据规律，总结出n个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.
【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，
集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，
集合{2，1}的交替和为2-1=1，
集合{3，1}的交替和为3-1=2，
集合{3，2}的交替和为3-2=1，
集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，
所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.
（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现次，
集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，
其中数字1、2、3、4各出现次，
在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为，
故数字1在个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，
同理数字2、3、4、5各出现次，
同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次，
所以集合所有非空子集的元素和的总和为.
②设集合的交替和分别为，
集合{1}的所有非空子集的交替和为
集合{1，2}的所有非空子集的交替和，
集合{1，2，3}的非空子集的交替和，
集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和
所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和为，
所以集合所有非空子集的交替和的总和
【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.
14．（1）不是的自邻集，是的自邻集；（2），理由见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）利用自邻集的定义直接判断即可；
（2）利用自邻集的定义求出的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案；
（3）记集合所有子集中自邻集的个数为，可得，然后分：①自邻集中含这三个元素，②自邻集中含有这两个元素，不含，且不只有这两个元素，③自邻集只含有这两个元素，三种情况求解即可
【详解】解：（1）因为，
所以和，
因为，所以不是的自邻集，
因为
所以是的自邻集，
（2），
则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有{5，6}，{4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{2，3，4，5，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}共9个，即
其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有{4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共5个，
其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有{2，3}，{1，2，3}共2个，
所以
（3）证明：记集合所有子集中自邻集的个数为，由题意可得当时， ，，显然
①自邻集中含这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，因为，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素为，所以含有这三个元素的自邻集的个数为，
②自邻集中含有这两个元素，不含，且不只有这两个元素，记自邻集除之外最大元素为，则，每个自邻集中去掉这两个元素后，仍为自邻集，此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为种情况：
含有最大数为2的集合个数为
含有最大数为3的集合个数为
……，含有最大数为的集合个数为
则这样的集合共有，
③自邻集只含有这两个元素，这样的自邻集只有1个，
综上可得
因为，，
所以，
所以，所以
【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合子集的有关知识，考查分析问题的能力，解题的关键是对集合新定义的理解，考查理解能力，属于较难题
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页