高中数学人教A版（2019）必修第一册1.3集合间的基本运算（拓展篇）(含答案)

一、单选题
1．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足:（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”例如:是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合类”的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．设集合、是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：
，
对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（ ）
①，
②
③
④
A． B． C． D．
3．【2017北京西城二模理8】有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一 支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
6．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
二、多选题
7．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有
A． B． C． D．
8．（多选）若非空实数集满足任意，都有， ，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（ ）
A．是优集 B．是优集
C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集
三、填空题
9．设函数的定义域和值域分别为和，记，，现有等式：①；②；③；④，则其中正确的等式序号有________.
10．设集合中的所有点围成的平面区域的面积为S，则S的最小值为________.
11．设集合其中均为整数}，则集合_____..
12．用表示集合中元素的个数，设为集合，称有序三元组，如果集合满足，且，则称有序三元组为最小相交，由集合的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数是_________
四、解答题
13．已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
14．设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.
（1）若集合，求集合的“耦合集”；
（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；
（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
15．设集合，集合.
（1）若集合，求实数的取值范围
（2）若集合中只有一个元素，求实数的值.
16．设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意知一定包含，对剩余分类讨论得到答案.
【详解】的子集有：.
根据题意：一定包含，剩余.
当5个都不取时，，1个；
当只取1个时，，，
满足，3个；
当只取2个时，，，
满足，3个；
当只取3个时，，
，，
满足，4个；
当只取4个时，不满足；
当取5个时，满足，1个；共12个.
故选：.
【点睛】本题考查了集合的新定义问题，分类讨论是解题的关键.
2．A
【分析】按照两个集合“保序同构”的定义，对于①构造出函数，对于②构造出函数，对于③构造出函数，进行验证，符合要求，利用排除法得到④不正确，即可得到答案.
【详解】对于①：若，，存在函数, “,满足， 对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项①是“保序同构”;
对于②：若，存在函数， 对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项②是“保序同构”；
对于③：若，存在函数满足， 对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项③是“保序同构”;
对于④：不能找到函数，使得两个集合“保序同构”.从另一个角度来思考，前三个选项中的集合对是“保序同构”,由排除法可知, 不是“保序同构”只有④，所以不是“保序同构”的个数为1.
故选：A
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
（1）仔细阅读，理解新定义的内涵；
（2）根据新定义，对对应知识进行再迁移.
3．A
【详解】设只持有A股票的人数为（如图所示），则持有A股票还持有其它股票的人数为（图中 的和），因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B和C股票的人数和为（图中部分）．假设只同时持有了B和C股票的人数为（如图所示），那么：，即：，则：X的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1．与之对应的值为：2、5、8、11、14、17、20、23、26．
因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得，即，故，时满足题意，故，，故只持有B股票的股民人数是，故选A.
点睛：本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有A股票的人数．关键是求只参加一个项目的人数中，持有A股票的人数及持有A股票以外的项目，且即持有C股票又持有B股票（a部分）的人数.
4．A
【分析】求出中不等式的解集确定出,求出集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范围判断出两整数解为和,从而得到关于的不等式.
【详解】，
令，
由题意，
，
又，所以，
设，
又.
所以要使中恰好有两个整数解，
则只能是和，
所以应满足,
解得.
故选A
【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出中的两个整数解为4和5和结合一元二次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题.
5．A
【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】如图，由于，
故两个阴影部分均为，
于是，
（1）若，则，，
而，
成立；
（2）反之，若，
则由于，，
，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.
6．A
【解析】根据题意,利用数形结合表示出集合,然后根据新定义中集合中元素的构成,用平面的点表示即可.
【详解】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点（包括边界），集合中有个元素（即49个点）：即图中正方形中的整点，
集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
含有个元素.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用数形结合表示集合的几何意义，从而得解.
7．ABD
【分析】将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，则存在使得，
则和的奇偶性相同.
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故选ABD.
【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.
8．ACD
【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.
【详解】对于A中，任取，
因为集合是优集，则，则 ，
，则，所以A正确；
对于B中，取，
则或，
令，则，所以B不正确；
对于C中，任取，可得，
因为是优集，则，
若，则，此时 ；
若，则，此时 ，
所以C正确；
对于D中，是优集，可得，则为优集；
或，则为优集，所以是优集，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
9．①③④
【解析】由集合相等的定义可判断①③④正确，据反例可判断②错误.
【详解】对于①，,
对任意，有，即或，
若，则，
若，则，
；
反之，对任意的，有或，
若，则，若，则，
，则，
综上，，故①正确；
对于②，如，则，取,，则，
，
，
，
，故②错误；
对于③，，
对任意的，则，则或，
若，则，
若，则，
；
反之，对任意，则或，
若，则，若，则，
，，
综上，，故③正确.
对于④，对任意的，则，则且，
若，则，
若，则，
；
反之，对任意，则且，
若，则，若，则，
，，
综上，，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点睛：本题考查集合相等的判断，解题的关键是正确理解集合相等的定义：即的充要条件是“若，则且若，则”.
10．2
【分析】设,则M中的所有点围成的平面区域面积为,分情况讨论二次函数的对称轴与区间的关系,分别得出函数在区间上的单调性,从而分别求出的值域,然后表示出S,即可求出S的最小值.
【详解】令,则
(1)当即时,在上单调递减,
,而所以,
此时,,
(2)当时,即时,在上单调递增,所以,
此时, ;
(3)当时, 在上单调递减, 在上单调递增,且,,所以,
此时, ;
(4)当时, 在上单调递减, 在上单调递增,且,,所以,
此时, ;
综上所述,,即S的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的值域的求解,考查分类讨论思想,考查学生分析问题解决问题的能力,解决问题的关键在于讨论二次函数的对称轴与所给的区间的关系,得出二次函数在该区间上的单调性,属于中档题.
11．M={0，1，3，4}.
【分析】根据2x+2y＝2t，进行提取2x，得到x，y的关系，根据整数关系进行推理即可得到结论．
【详解】由得，则，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边即，且即.
为整数，则为2的约数，则，.故M={0，1，3，4}.
故答案为M={0，1，3，4}.
【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，结合集合元素是整数的关系进行推理是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
12．6.
【分析】根据定义，确定满足条件的集合的元素情况即可求出结果.
【详解】因为，
设，
因为，且，
所以集合，
若，
则，
将顺序随机排序，有个，
最小相交的有序三元组的个数是6，
故答案为：6.
【点睛】该题考查的是有关集合的新定义的问题，在解题的过程中，注意对条件的正确理解与等价转化，属于较难题目.
13．（1），；（2）证明见解析；（3）1347.
【解析】（1）根据题目定义，直接计算集合及；
（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；
（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．
【详解】（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，
即，
剩下的，
所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
，
，
，
，，
中最小的元素为0，最大的元素为，
，
，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
14．（1）；（2）证明见详解；（3）5个
【解析】（1）根据“耦合集”定义可得.
（2）由条件②可知的可能元素为：；由条件③可知得同理其它比得证；
（3）由（2）知得即，同理，故共5个元素.
【详解】解：（1）由已知条件②得的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以；
（2）证明：因为，由已知条件②得的可能元素为：，由条件③可知得，同理得，所以对于任意，有；
（3）因为，由（2）知得即，同理，所以，又因为的可能元素为：，所以共5个元素.
【点睛】解题关键是正确理解“耦合集”的定义.
15．（1）（2）或
【分析】（1）集合中对应表达式为二次函数，等价于，求解即可；
（2）解出集合，由集合中只有一个元素判断集合中元素只能有一个，再进行求解即可
【详解】（1），，解得
（2）集合中只有一个元素，若集合，
将代入得或，
将代入得，解得集合，与题设矛盾，舍去；
将代入得，解得集合，符合题意，则满足；
同理，若，将代入得或，
题（1）中不满足条件，舍去，
将代入得，集合，符合题意，则满足
综上所述，实数的值为或
【点睛】本题考查根据集合为空集求解参数，根据交集结果求参数，在反向求解参数问题中，一定要注意检验原集合的表达形式是否符合题意，属于中档题
16．或
【分析】先求出和，再已知条件列出的方程，利用分类讨论即可求解.
【详解】解：，
由知，，即
因为
所以
因为中所有元素之和是246
即
化简为：
因为
若，则，
而最小为，最小为，所以
所以或者
当时，
此时，，恰好满足
当时，
此时，恰好满足
所以集合有两种可能：或
【点睛】思路点睛：该题可看成有限制条件的不定方程，列出方程后，先对最大数取值，再对较小数取值，直到满足条件即可.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页