高中数学人教A版（2019）必修第一册2.1等式性质与不等式性质（能力篇）(含答案)

一、单选题
1．若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．若实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．，，，，设，则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式为
A．； B．；
C．； D．
8．设，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知均为正实数，且，那么的最大值为__________．
10．设，，则，的大小关系为________.
11．若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是_______．
12．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计)
四、解答题
13．已知，试比较与的大小.
14．求下列方程组的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
15．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积.
（1）若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件是变好了还是变差了？
（2）无论原设计方案中窗户面积和地板面积是多大，增加的窗户面积和地板面积的比值为多少时，住宅的采光条件必定会变差？
16．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】设，求出，再根据不等式的性质即可得出答案.
【详解】解：设，
则，解得，
故，
又因，
所以，
所以.
故选：A.
2．A
【分析】对于A,可利用作差法判断；对于B,C,D，举反例即可判断正误.
【详解】对于A，若，则，
故A正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，不妨取 ，则，故C错误；
对于D，若，，不妨取 ，则，D错误，
故选：A
3．B
【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
4．B
【分析】取特殊值判断ACD，根据不等式的性质判断B.
【详解】当时，，，则AC错误；
当时，，则D错误；
由不等式的性质可知，，则B正确；
故选：B
【点睛】本题主要考查了判断所给不等式是否成立，属于中档题.
5．D
【分析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.
【详解】解：，，，，，
；
，
.
故选：D
6．B
【解析】根据已知条件，结合不等式的性质，对选项进行逐一判断即可.
【详解】因为，
对：当 不一定成立，比如不成立，故不成立；
对：因为，故可得，故一定成立；
对：因为，，故不成立；
对：因为，，故不成立.
故选：B.
【点睛】本题考查不等式的性质，举反例是常用判断方法，属基础题.
7．ABCD
【解析】选项，利用基本不等式得，再利用基本不等式得，两次等号成立的条件必须相同；选项，把展开，利用基本不等式即可证明；选项，由，不等式显然成立；选项，作差法证明即得.
【详解】对，，当且仅当，即时，等号成立.故正确；
对，，当且仅当，即时等号成立. 故正确；
对，，故正确；
对，，
.故正确.
故选：.
【点睛】本题考查基本不等式和作差法比较大小，属于中档题.
8．AB
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及指数函数和对数函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.
【详解】因为，
对A：根据不等式的可加性，即可得，故A一定成立；
对B：由，则，所以，故B一定成立；
对C：因为，故可得，故C一定不成立；
对D：，为非正数时 对数无意义，故D不一定成立.
故选：AB.
9．
【分析】本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可
【详解】因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以
所以的最大值为4
故答案为：4
10．
【解析】由结合不等式的性质得出答案.
【详解】
，则
，即
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，属于中档题.
11．①④⑥
【分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.
【详解】因为，则，所以，即，故①正确；
由，不等式两边同时乘时，，对于，两边同乘，可得，故，即，则②错误；
因为，所以，则，所以，即，则③错误；
由，不等式边同时乘，得，故④正确；
由，因为，所以，又因为，所以，即，故⑤错误；
由可得，，故⑥正确；
因此，正确结论的序号是①④⑥.
故答案为：①④⑥.
12．
【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式组的建立，关键是要从已知的题目中找出不等关系，并用不等式表达出来．
【详解】解：依题意，且三次后全部进入，
即，
故不等式组为
故答案为
【点睛】在使用不等式解决实际问题时，关键的步骤是仔细分析题意，从题目中找到合适的变量及不等关系，并用不等式（组将数量间的不等关系正确表达出来，在表达时要注意变量的取值范围，特别在实际问题中，要实际问题实际考虑．
13．
【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.
【详解】，
，.
两数作商
，
.
14．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）中由第一个式子可得代入第二个、第三个式子，再作差求解即可；
（2）中由第一个式子可得代入第二个式子求解即可；
（3）由第一个式子可得代入第二个式子求解即可.
【详解】（1）由第一个式子可得
代入第二个、第三个式子可得：
，两个式子作差可得
代入可得
故方程组的解集为
（2）由第一个式子可得
代入第二个式子可得
解得
代入，可得
故方程组的解集为
（3）由第一个式子可得
代入第二个式子可得
即
解得
代入可得
故方程组的解集为
15．（1）变好了；（2）小于0.1.
【分析】设窗户面积为，地板面积为，由题意知，.
（1）设增加的窗户面积和地板面积均为，利用作差法比较的大小即可得出结论；
（2）设增加的窗户面积和地板面积分别为和，要使住宅的采光条件必定会变差，需满足恒成立，即恒成立，根据的范围即可得解.
【详解】解：设窗户面积为，地板面积为，由题意知，.
（1）设增加的窗户面积和地板面积均为，则
，
因为，所以，故，
因此，住宅的采光条件变好了.
（2）设增加的窗户面积和地板面积分别为和，则
，
要使住宅的采光条件必定会变差，需满足恒成立，
即，亦即恒成立.
因为，所以，
即增加的窗户面积和地板面积的比值小于0.1时，住宅的采光条件必定会变差.
16．（1）证明见解析；（2）1.
【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.
【详解】证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.
答案第1页，共2页
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