高中数学人教A版（2019）必修第一册2.1基本不等式（能力篇）(含答案)

一、单选题
1．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．已知x、y、z是互不相等的正数，则在、、三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知，条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0 B．有最小值为0
C．有最大值为－4 D．有最小值为－4
6．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列选项中正确的是（ ）
A．不等式恒成立
B．存在实数，使得不等式成立
C．若，为正实数，则
D．若正实数，满足，则
8．若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值4 D．有最小值
三、填空题
9．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______．
10．已知，那么当代数式取最小值时，点的坐标为______
11．问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第层楼时，环境不满意程度为.则此人应选第_______楼，会有一个最佳满意度.
12． 设，，，则的最小值为__________.
四、解答题
13．（1）已知，求的最大值．
（2）已知，求的最大值．
（3）已知，求的最大值．
14．某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？
（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.
15．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
16．某地政府指导本地建扶贫车间 搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，结合基本不等式计算的最小值，即可求解.
【详解】由题意得
，
当且仅当时取等号．因此，结合，可知．
则符合条件，因此正实数的取值范围是.
故选：D．
2．C
【分析】首先证明、、三个值中不可能都大于，然后举例判断即可
【详解】首先证明、、三个值中不可能都大于，
假设、、三个值中都大于，
因为x、y、z是互不相等的正数，且，
由，可得，同理可得，，
由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
同理可得，
所以，
而，
所以假设错误，所以、、三个值中不可能都大于，
取，则
，，，
所以这3个数中有两个大于，
所以大于的个数的最大值是2，
故选：C
3．A
【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.
【详解】因为，由得：，
则，
当且仅当，即时取等号，因此，，
因，，由，取，则，，即，，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
4．D
【分析】令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解．
【详解】由得
因为，，则
令
则化为恒成立，
由权方和不等式得
当且仅当，得即时等号成立．
所以
故选：D
5．B
【分析】由均值不等式可得，分析即得解
【详解】由题意，，由均值不等式
，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0
故选：B
6．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质，分别表示和，根据长度关系，判断选项．
【详解】由图可知，，，
在中，，显然，
即．
故选：B.
7．BCD
【分析】根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，当时不成立，故错误；
对于B选项，当时，，当且仅当等号成立，故正确；
对于C选项，若，为正实数，则，所以，当且仅当时等号成立，故正确；
对于D选项，由基本不等式“1”的用法得，当且仅当时等号成立，故正确.
故选：BCD
8．ABC
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．
【详解】解：因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，所以，故有最大值，故A正确；，当且仅当时取等号，
故，即有最大值，故B正确；
，当且仅当时取等号，故有最小值4，故C正确；
，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误．
故选：ABC．
9．
【解析】转化条件为，令，进而可得，转化条件为，结合基本不等式即可得解.
【详解】已知，
由得，即，
令，
所以，所以，
故
，
当且仅当即时，取等号.
故答案为：．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．
【分析】根据题意有，当且仅当，即时取等号，所以，结合以及两个不等式等号成立的条件可求出的值，从而可求得答案
【详解】解：由，得，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，其中第一个不等式等号成立的条件为，第二个不等式等号成立的条件为，
所以当取最小值时，，解得
所以点的坐标为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件，考查计算能力，属于中档题
11．
【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，可得出，利用基本不等式结合双勾函数的单调性可求得结果.
【详解】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，由题意知，
，当且仅当，即时取等号，
但考虑到，所以，当时，当时，
即此人应选楼，不满意度最低.
故答案为：.
【点睛】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
12．.
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
13．（1） ；（2）；（3） .
【分析】（1）由已知得，根据基本不等式可求得最大值．
（2）由基本不等式得，由此可求得最大值．
（3）由已知得．根据基本不等式可求得最大值．
【详解】解：（1）∵，∴．
∴，当且仅当，即时，等号成立．
故当时，．
（2）∵，∴．
∴，
当且仅当，即时，等号成立．
故当时，．
（3）∵，∴．根据基本不等式得，∴，当且仅当，即时，等号成立．
故当时，．
14．（1）400吨；（2）该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【解析】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，化简后再利用基本不等式即可求出最小值．
（2）该单位每月获利为元，则，由的范围，利用二次函数的性质得到的范围即可得结论．
【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元.
（2）不获利，设该单位每月获利为元，
则
，
因为，
所以时取最大值，时取最小值，
所以.
故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
15．（1）最大值为；（2）最小值为5.
【分析】（1）直接用基本不等式求解；
（2）依题意，，进而用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）因为所以，
即当且仅当取等号.
又，所以当时，的最大值为
（2）因为且.
当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5.
16．（1）；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
【分析】（1）根据题意结合分段函数即可求解；
（2）结合二次函数在固定区间上的最值以及均值不等式即可求出函数的最值.
【详解】解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为万元.
依题意得，当时，.
当时，.
所以.
（2）当时，，
故当时，取得最大值4.5万元.
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值14万元.
所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页