高中数学人教A版（2019）必修第一册1.4充分条件与必要条件（拓展篇）(含答案)

一、单选题
1．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．“函数在区间上单调”是“函数在上有反函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
4．已知，，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
6．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、解答题
7．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
8．将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同.
第一行 …
第二行 …
第三行 …
对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”.
（Ⅰ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅱ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅲ）若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）.
9．如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,点是第一象限内抛物线上的一点,点的坐标为
（1）若,求点的坐标;
（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;
（3）弦经过点,过弦上一点作直线的垂线,垂足为点,求证:“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.
10．若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.
（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；
（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】对、的符号以及、是否相等分情况讨论，得出的充要条件，即可判断出“”是“”的充要条件关系.
【详解】（1）若，.
①若，不等式即为，则，不等式即为，得，，；
②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，得，，则；
（2）同理可知，当，时，，不一定为；
（3）若，.
①若，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；
②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；
（4）同理，当，时，.
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.
2．A
【解析】“函数在区间上单调”“函数在上有反函数”，反之不成立．即可判断出结论
【详解】“函数在区间上单调”“函数在上有反函数”，下面给出证明：
若“函数在区间上单调”，设函数在区间上的值域为，任取，如果在中存在两个或多于两个的值与之对应，设其中的某两个为，且，即，但．
因为，所以 (或)．
由函数在区间上单调知： ，(或)，这与矛盾．因此在中有唯一的值与之对应．由反函数的定义知：
函数在区间上存在反函数．
反之“函数在上有反函数”则不一定有“函数在区间上单调”，例如：函数，就存在反函数：
原函数和反函数图象分别如下图（1）（2）所示：
由图象可知：函数在区间上并不单调．
综上，“函数在区间上单调”是“函数在上有反函数”的充分不必要条件.
故选：A．
【点睛】本题考查了反函数的定义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力，属于中等题．
3．A
【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解.
【详解】由得，，
所以，，即.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件.
如下图是一个周期为得函数，
得不出，
所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.
故选：A.
4．B
【分析】若，则，利用函数的单调性可得．反之不一定成立，例如取，．即可得出其不成立．
【详解】解：若，则，
∴，
又当时，单调递增，∴．
反之不一定成立，“”不一定得出“”，
例如取，．则“”．
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．
5．C
【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．
【详解】充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
6．A
【解析】作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．
【详解】作出函数的图象如图，
由图可知，，
函数有2个零点，即有两个不同的根，
也就是与在上有2个交点，当过点时，则值为；
设过原点的直线与的切点为，斜率为，
则切线方程为，
把代入，可得，即，∴切线斜率为，
∴k的取值范围是，
∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，
故选A．
【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．
7．（1）；（2）.
【分析】（1）分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，即可求出范围；（2）分析讨论二次不等式对应方程的两个根的大小，写出解集A, 是 的充分不必要条件得出,求出的范围.
【详解】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，
得在时恒成立，
∴，得，即.
（2）不等式，
①当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
∴，此时；
②当，即时，解集，满足题设条件；
③当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
，此时.
综上①②③可得
【点睛】本题主要考查了含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分必要条件的理解转化，集合的交集运算等，属于中档题.解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论.
8．（Ⅰ）数对是的“友好数对”；（Ⅱ） 数对不是的“友好数对”；（Ⅲ） ；.
【分析】（Ⅰ）由整除的知识易证数对是的 “友好数对”；
（Ⅱ）通过举例可证明数对不是的“友好数对”；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中的结论可猜测时，数对是“友好数对”，此时当证明时，存在满足题意的表格填法即可.；由（Ⅰ）与（Ⅱ）中的结论可推测时，数对是的“友好数对”.
【详解】（Ⅰ）对于数对，
将表中第一行填入能被整除的自然数，
第二行填入被整除余的自然数，
第三行填入被整除余的自然数，
对于任意，，，必分别在表格的不同行，
故数对是的“友好数对”.
（Ⅱ）对于数对，
假设数对是的“友好数对”，
令，则，，
此时互不同行，
令，则，，
此时互不同行，
因为与互不同行，则必与或同行，
令，则，，
此时互不同行，
令，则，，
此时互不同行，
即不与、同行，故假设不成立，
则数对不是的“友好数对”.
（Ⅲ）存在满足题意的，
令，则，，
此时将数表中的第一行填入被整除余的数，
第二行依次填入被整除余的数，
第三行依次填入被整除余的数，
在此表中，差为或的两个数不可能在同一行，
此时对于任意，
在以及除以的余数中，
较大数与任意较小数之差必为或，
若按表中方法填入式，
任意两数均不可能在同一行，
则以及比不同行，
故满足题意，
此时表格的填法如下：
第一行 …
第二行 …
第三行 …
由上可知使得数对是的“友好数对”的一个充分条件为，
当时，，
在该条件下，数表的填法为：
第一行填入被整除余的数，
第二行依次填入被整除余的数，
第三行依次填入被整除余的数，
在此表中，差为或的两个数不可能在同一行，
此时对于任意，
在以及除以的余数中，
较大数与任意较小数之差必为或，
若按表中方法填入式，
任意两数均不可能在同一行，
则以及比不同行，
故满足题意，
则“”为使得数对是的“友好数对”的一个充分条件.
【点睛】本题主要考查集合的运算和充分条件与必要条件，考查了考生的分析能力，属于难题.
9．（1）（2）（3）证明见解析
【解析】（1）因为点是第一象限内抛物线上的一点,且,设,
则 即可求得答案;
（2）设,由,,可得:,,因为 ,可得,结合已知,即可求得答案;
（3）因为过点,设为:,点,点,其中点,可得:,联立直线与抛物线得,结合已知条件,根据充要条件定义,即可求得答案.
【详解】（1）点是第一象限内抛物线上的一点,且
设,
则
解得:,即.
（2）设,由,
可得:,
①
又等腰,得点在轴投影为、中点,即:.
将,代入①得:,(舍去)
点坐标为.
（3）过点
设为:,点,点,其中点,
可得:
联立直线与抛物线得,消掉
可得:
根据韦达定理可得:
设点处抛物线得切线为
联立直线与抛物线得:,消掉
可得:
,可得:
过处切线方程为
化简得
求切线与直线得交点
可得
轴,
与相切时,为中点
以上各步骤,均可逆
“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.
【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系问题,解题关键是掌握在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
10．（1）详见解析（2）详见解析
【详解】试题分析：（1）新定义问题，关键证明满足定义中两个条件：先确定，再依次验证定义中两个条件（2）首先分清充分性与必要性，再分别给予证明，证充分性类似（1），可先证；而证必要性，需用反证法：其理由是当时，正项等比数列趋向于无穷大，即不存在上界.
试题解析：（1）设公比为，则,
所以.
因为
=
=.
且即存在常数32,
所以，数列是“和谐数列” .
（2）充分性
设等比数列的公比，且
则.
令，则
因为
所以是“和谐数列”
必要性
等比数列各项为正，且是“和谐数列”.
因为所以，
下面用反证法证明，
（1）当则因为所以，不存在，使对恒成立;
当，则
所以，对于给定的正数，若
因为，，所以，
即当时，有.
所以，不存在常数，使
所以，
综上,数列是“和谐数列”的充要条件为其公比为.
考点：充要关系，新定义
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