高中数学人教A版（2019）必修第一册2.1基本不等式（基础篇）(含答案)

一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
3．若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数，则函数的最小值等于（ ）
A． B． C．5 D．9
5．已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M＝N
C．M6．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列函数中最大值为的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正数a，b满足，若a+b∈Z，则a+b的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
三、填空题
9．已知正数a，b满足，则的最小值为___________.
10．函数的最小值为______.
11．已知正实数a，b满足，则的最小值为______．
12．若正数，满足，则的最小值是______．
四、解答题
13．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为，总造价为（元）.
（1）将表示为关于的函数；
（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
14．某建筑队在一块长的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如下图中矩形ABCD的学生公寓，要求定点在地块的对角线MN上，B，分别在边AM，AN上.
(1)若m，宽m，求长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m？
(2)若矩形AMPN的面积为m，问学生公寓ABCD的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.
15．已知都是正数，且，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
16．已知方程的解为、.
（1）求、的值.
（2）求的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由和充要条件的定义，可得答案.
【详解】若，则，当且仅当时取等号；
若，则.
所以 “”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键，属于基础题．
2．A
【分析】根据基本不等式计算求解.
【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
3．A
【分析】根据基本不等式可求的最小值.
【详解】因为，所以，
由基本不等式可得，
故，解得或（舍），即
当且仅当时等号成立，
故的最小值为1，
故选：A.
4．C
【分析】利用基本不等式求最值即可，注意等号成立的条件.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
5．A
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以
，当且仅当取等号，
而，
故选：A．
6．B
【分析】由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；
【详解】由基本不等式可知，故A不正确；
由，可得，即恒成立，故B正确；
当时，不等式不成立，故C不正确；
当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
7．BC
【解析】利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】解：对A，，
当且仅当，即时取等号，故A错误；
对B，，
当且仅当，又，即时取等号，故B正确；
对C，，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对D，，
当且仅当 ，又 ，时取等号，故D错误.
故选：BC.
8．BC
【分析】利用基本不等式构造关于的一元二次不等式，即可求解.
【详解】解：（当且仅当时，取等号），
即，解得：，又a+b=2时，ab=0，不合题意，
故选：BC
9．##0.75
【分析】结合，将转化为，再结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
10．4
【分析】利用基本不等式直接求解即可
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，
故答案为：4
11．3
【分析】利用基本不等式求目标式最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，当且仅当时等号成立.
故答案为：3
12．
【分析】将展开，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
当且仅当即 时等号成立，
所以的最小值是，
故答案为：.
13．（1）；（2）当时，总造价最低且最低为.
【解析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得表示为关于的函数；
（2）利用基本不等式可求何时取何最值.
【详解】（1）因为矩形区域的面积为，故矩形的宽为，
绿化的面积为，
中间区域硬化地面的面积为，
故，
整理得到，
由可得，
故.
（2）由基本不等式可得
，
当且仅当时等号成立，
故当时，总造价最低且最低为.
【点睛】方法点睛：利用基本不等式解决应用问题时，注意合理构建数学模型，求最值时注意“一正二定三相等”，特别是检验等号是否可取.
14．(1)，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
(2)有，最大值为；
【分析】（1）通过，求出．得到矩形的面积为．利用基本不等式求解学生公寓的面积的最大值．
（2）由三角形相似可得，设，，即可得到，再利用基本不等式得到，由矩形的面积为，即可得到学生公寓的面积最大值；
（1）
解：设，依题意知，所以，
即，则．
故矩形的面积为．
，
当且仅当，即时，等号成立．
此时．
故，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
（2）
解：由（1）可得，即，同理可得，
设，，所以，即，所以，即，因为的面积为，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以学生公寓的面积有最大值为；
15．(1) ；(2) .
【分析】(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；
(2) 先将式子中的1用代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.
【详解】(1) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为 .
(2) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为.
16．（1），；（2）.
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系求、；
（2）利用基本不等式求最小值.
【详解】（1）由韦达定理可得，解得，；
（2）由（1）知，，
所以，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，的最小值为.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
答案第1页，共2页
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