高中数学人教A版（2019）必修第一册2.1基本不等式（拓展篇）(含答案)

一、单选题
1．设，，则三个数（ ）
A．都小于4 B．至少有一个不大于4
C．都大于4 D．至少有一个不小于4
2．已知a，b∈R，a+b＝2.则的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
3．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．6 D．
4．若a，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．下列结论中错误的是（ ）
A．存在实数x，y满足，并使得成立
B．存在实数x，y满足，并使得成立
C．满足，且使得成立的实数x，y不存在
D．满足，且使得成立的实数x，y不存在
6．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，且，则的最大值是1
C．若，，则
D．函数的最小值为9
8．设正实数x，y满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是9
C．的最小值为 D．的最小值为2
三、填空题
9．设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.
10．若，则的取值范围是_________．
11．设，则的最大值为________.
12．若实数m，n满足，则的最小值是___________.
四、解答题
13．已知为正数，且满足 证明：
（1）；
（2）
14．在中，.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求周长的最小值.
15．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若存在实数x0，使得f（x0）≤5+m﹣m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3+b3＝M，证明：0＜a+b≤2．
16．已知椭圆的长轴长为4，右焦点为，且椭圆上的点到点的距离的最小值与最大值的积为1，圆与轴交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线与椭圆交于两点，且直线与圆相切，求的面积与的面积乘积的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．
【详解】假设三个数且且，相加得：
，由基本不等式得：
；；；
相加得：，与假设矛盾；
所以假设不成立，
三个数、、至少有一个不小于4．
故选．
【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．
2．C
【分析】化简配方可得+＝，令t＝ab﹣1＝a（2﹣a）﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0，则＝，令4﹣2t＝s（s≥4），即t＝，再由基本不等式计算可得最大值.
【详解】解：a，b∈R，a+b＝2.
则+＝
＝＝＝，
令t＝ab﹣1＝a（2﹣a）﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0，
则＝，
令4﹣2t＝s（s≥4），即t＝，
可得＝＝，
由s+≥2＝8，
当且仅当s＝4，t＝2﹣2时上式取得等号，
可得≤ ＝，
则+的最大值为，
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意化简变形和换元，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于较难题.
3．C
【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案．
【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
． ，
，当且仅当时取等号，
的最小值为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力．
4．A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，当且仅当时，等号成立；
又，当且仅当时，即，等号成立；
，解得，，
所以的最大值为
故选：A
5．A
【解析】画出约束条件的可行域，判断目标函数取得最值时的位置，然后判断选项的正误即可.
【详解】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：
，令，可知可行域内的点在边界时，取得最大值或最小值；
对于A项，最优解在时，，
因为，所以的最大值为9，且此时.
所以选项A错误；
对于B项，即，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，
即，解得，
且点在可行域内，故B项正确，不选；
对于C项，最优解在时，，
因为，所以.
所以满足，且使得成立的实数x，y不存在，
所以C项正确，不选；
对于D项，由对C项的分析可知，满足，且使得成立的实数x，y不存在，
所以D项正确，不选；
故选：A.
【点睛】本题考查线性规划的应用，判断最优解的位置是解题的关键，难度较大.
6．B
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：正实数满足，
则，
，
即：，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为11.
故选：B.
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力．
7．ACD
【分析】利用不等式的性质由，可得到，可知选项A正确；利用均值定理和题给条件可得的最大值是，可得选项B错误；利用均值定理和题给条件可得最小值为，可得选项C正确；利用均值定理和题给条件可得函数的最小值为9，可得选项D正确.
【详解】因为，则，所以成立，故A正确；
由．
当且仅当时，取得最大值，故B错误；
因为，，所以，
当且仅当即时，等号成立，故C正确；
，
当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：ACD．
8．BC
【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A， ，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；
对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；
故选：BC.
9．[1,13]
【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.
【详解】二次函数f(x)对称轴为，
∵f(x)值域为，
∴且，n＞0.
，
∵
====
∴，，
∴∈[1,13].
故答案为：[1,13].
10．
【分析】由基本不等式可得，可得，可得，即有，化简所求式子，运用对勾函数的单调性，可得所求范围．
【详解】解：，，，
可得，当且仅当时取等号；
可得，
，
可得，
即有，
则
，
可令，
由在，递减，可得
，
则的取值范围是，
故答案为：．
11．
【分析】依题意将原式变形为，再利用基本不等式，令，即可求出，从而得解；
【详解】解：
令或（舍去）
所以
故答案为：
12．##
【分析】通过换元使变量系数相同，巧用“1”的代换结合基本不等式即可求解.
【详解】解析：令，则，因为，所以.从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）变换，利用均值不等式得到答案.
（2），利用三元均值不等式得到答案.
【详解】（1），故
，当时等号成立.
（2）易知.
.
当时等号成立.
【点睛】本题考查了根据均值不等式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式的应用能力.
14．（1）；（2）12.
【分析】（1）由题意，，，由余弦定理、基本不等式，即可求的最大值；
（2）当时，求出，利用余弦定理、基本不等式，即可求出周长的最小值.
【详解】解：（1）由题意，，，
由余弦定理可得，
，
，
的最大值为；
（2）， ，
又，
，
，
周长为
当且仅当时，周长的最小值为12.
【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.
15．(1) ;(2)证明见解析.
【分析】(1)先将不等式进行化简可得，利用绝对值的几何意义求解.
(2)结合绝对值的几何意义求出的最小值，从而求出得到，利用基本不等式即可证明.
【详解】(1) 解：，则，
由绝对值的几何意义可得和时使得等号成立，所以解集为
(2)证明：由绝对值的几何意义已知的最小值为，
所以，解得，所以，所以，
因为，，
所以，由得，
，
则，综上所述，.
【点睛】本题考查了利用绝对值的几何意义求不等式的解集，考查了不等式的存在性问题等，考查了逻辑推理能力.
16．（1）（2）
【解析】（1）根据题意，列出的方程，根据，求出的值即可求解；
（2）联立直线和椭圆方程得到关于的一元二次方程，设，利用韦达定理和弦长公式求出的表达式，利用直线与相切得到的关系式，由题意知，，利用点到直线的距离公式分别求出点到直线的距离，据此即可得到的表达式，利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则由已知得，
解得，因为，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由得，
，
设，则，
所以
，
因为直线与相切，所以点到直线的距离，即，
所以，由，得，
因为圆与轴交于两点，所以，
所以两点到直线的距离分别为，
所以的面积与的面积乘积为
，
因为，所以.
因此的面积与的面积乘积的取值范围为.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式和利用基本不等式求最值；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握椭圆与圆的性质和直线与圆锥曲线的位置关系是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
答案第1页，共2页
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