4.5.3函数模型的应用 课时作业（含解析）

4.5.3　函数模型的应用
必备知识基础练
1．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是(　　)
(下列数据仅供参考：＝1.41，＝1.73，＝1.44，＝1.38)
A．38% B．41%
C．44% D．73%
2．[2022·广东华南师大附中高一期末]某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
x 1.0 2.0 4.0 8.0
y 0.01 0.99 2.02 3
现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是(　　)
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2＋2x－3 D．y＝2x－3
3．在某个时期，某水域的一种外来生物总数为a个，每天以3%的增长率增长，经过30天，要估计该生物总数变为原来的多少倍？以经过时间x(天)为自变量，可得到该生物总数y关于x的函数解析式是(　　)
A．y＝a(1－3%)x B．y＝a(1＋3%)x
C．y＝a(1－3%)x D．y＝a(1＋3%)x
4．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2016年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2022年冬有越冬白鹤(　　)
A.4 000只 B．5 000只
C．6 000只 D．7 000只
5．(多选)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(a>0且a≠1)(t≥0)的图象．有以下说法：其中正确的说法是(　　)
A．每月减少的有害物质质量都相等
B．第4个月时，剩留量就会低于
C．污染物每月的衰减率为
D．污染物每月的衰减率为
6．某市为给学生提供更好的体育锻炼场地和设施，计划用三年时间完成对相关学校的操场及体育设施的改造，2020年该市政府投资了3亿元，若每年投资金额的增长率相同，预计2022年的投资金额达到y亿元，设每年投资金额的增长率为x，则y＝________(用含x的代数式表示).
7．已知函数t＝－144lg (1－)的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分钟)所需的学习时间，N(字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．
关键能力综合练
1．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
2．搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量m(除燃料外，单位：kg)的函数关系是v＝2 000ln (1＋).当火箭的最大速度为11.5 km/s时，约等于(参考数据：e5.75≈314)(　　)
A．313　　　B．314　　　C．312　　　D．311
3．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋λe－(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据ln 3≈1.1)(　　)
A．8.8分钟 B．11分钟
C．13.2分钟 D．22分钟
4．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)，其中星等为mi的星星的亮度为Ei(i＝1，2).已知“角宿一”的星等是0.97，“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)(　　)
A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59
5．(多选)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位；人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y＝－x＋40，其中20A．实数m的值为10 000
B．销售单价越低，直播在线购买人数越多
C．当x的值为30时利润最大
D．利润最大值为10 000
6．某生物兴趣小组自2010年起对一湖泊进行监测研究，发现其中某种生物的总数y(单位：亿)与经过的时间x(单位：年)的函数关系与函数模型y＝alog2(x＋1)＋b基本拟合．经过1年，y为3亿，经过3年，y为5亿，预计经过15年时，此种生物总数y为________亿．
7．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________．
8．小明有100万元的闲置资金，计划进行投资．现有两种投资方案可供选择，这两种方案的回报如下：方案一：每月回报投资额的2%；方案二：第一个月回报投资额的0.25%，以后每月的回报比前一个月翻一番．小明计划投资6个月．
(1)分别写出两种方案中，第x月与第x月所得回报y(万元)的函数关系式；
(2)小明选择哪种方案总收益最多？请说明理由．
9．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
核心素养升级练
1．[2022·山东青岛高一期末]2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，碳14的半衰期为5730 年，≈1.166 5，以此推断水坝建成的年份大概是公元前(　　)
A．3500年 B．2900年
C．2600年 D．2000年
2．图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图(2)(3)所示，请你根据图象，说明这两种建议．
图(2)的建议是________________；图(3)的建议是________________．
3．[2022·福建漳州高一期末]2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强．面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义．为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的20%，预计收益x∈[36，900].
(1)分别判断以下三个函数模型：y＝1.006x，y＝3ln x＋4，y＝，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；(参考数据：1.006750≈88.81，1.006760≈94.29，ln 36≈3.58，ln 900≈6.80)
(2)已知函数模型y＝a－10符合公司奖励方案的要求，求实数a的取值范围．
4．5.3　函数模型的应用
必备知识基础练
1．答案：B
解析：设年平均增长率为p，由题意得(1＋p)6＝23，1＋p＝＝1.41，∴p＝0.41.故选B.
2．答案：A
解析：由表中的数据看出：y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，而函数y＝2x，y＝x2＋2x－3在(0，＋∞)的增大幅度越来越大，函数y＝2x－3呈线性增大，只有函数y＝log2x与已知数据的增大趋势接近．
3．答案：D
解析：由题意可得y＝a(1＋3%)x.
4．答案：C
解析：由题意，当x＝1时，可得3 000＝alog3(1＋2)，解得a＝3 000，所以2022年冬有越冬白鹤为y＝3 000·log3(7＋2)＝6 000.
5．答案：BC
解析：∵y＝at的图象经过点(2，)，∴＝a2∴a＝，即y＝()t.故1月到2月，减少的有害物质质量为－＝，2月到3月，减少的有害物质质量为－＝，故每月减少的有害物质质量都相等是错误的，即A错；当t＝4时，有害物质的剩留量y＝＜，故B正确；污染物每月的衰减率为1－＝，故C正确，D错．
6．答案：3(1＋x)2
解析：根据题意，2020年到2022年投资金额增长了两次，每年投资金额的增长率为x，可得y＝3(1＋x)(1＋x)＝3(1＋x)2.
7．答案：144
解析：当N＝90时，t＝－144lg (1－)＝144.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.
2．答案：A
解析：火箭的最大速度为11.5 km/s，即v＝11.5×1 000＝11 500 m/s，
所以11 500＝2 000ln (1＋)，所以ln (1＋)＝＝＝5.75，
即＝e5.75－1＝314－1＝313.
3．答案：B
解析：当t＝0时，y＝0.05＋λ＝0.2，解得：λ＝0.15，所以y＝0.05＋0.15e－，当0.05＋0.15e－≤0.1，解得t≥10ln 3≈11，
所以至少需要11分钟．
4．答案：B
解析：设“角宿一”的星等是m1，“水委一”的星等是m2，“角宿一”的亮度是E1，“水委一”的亮度是E2，则m1＝0.97，m2＝0.47，E2＝rE1，
∵两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)，
∴0.97－0.47＝2.5(lg rE1－lg E1)，即lg r＝0.2，
∴r＝100.2≈1＋2.3×0.2＋2.7×(0.2)2＝1＋0.46＋0.108＝1.568，
∴与r最接近的是1.57.
5．答案：ABC
解析：因为在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y＝－x＋40，单调递减，所以B正确；
将x＝25，y＝2 015代入y＝－x＋40，
可得2 015＝－25＋40，解得：m＝10 000，所以A正确；
由题意可得所得利润为：
f(x)＝(x－20)(－x＋40)＝－x2＋60x＋9 200＝－(x－30)2＋10 100，
所以当x＝30，最大利润为10 100元，C正确，D错误．
6．答案：9
解析：由题得，点(1，3)和点(3，5)在函数y＝alog2(x＋1)＋b上，代入得，解得a＝2，b＝1，则函数为y＝2log2(x＋1)＋1，所以预计经过15年时，此种生物总数y＝2log2(15＋1)＋1＝9亿元．
7．答案：y＝6.4(1＋a)x　25%
解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x，
由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，
所以(1＋a)3＝，所以1＋a＝，
故a＝＝25%.
8．解析：(1)设第x月所得回报为y万元，
则方案一：y＝100×2%＝2(x∈N*且x≤6)；
方案二：y＝100×0.25%×2x－1＝2x－3(x∈N*且x≤6).
(2)两个方案每月的回报额列表如下：
x(月) 方案一：y(万元) 方案二：y(万元)
1 2 0.25
2 2 0.5
3 2 1
4 2 2
5 2 4
6 2 8
若选择方案一，则总回报为2×6＝12(万元)，
若选择方案二，则总回报为0.25＋0.5＋1＋2＋4＋8＝15.75(万元).
故选择方案二总收益最多．
9．解析：(1)M＝lg A－lg A0＝lg ＝lg ＝4.即这次地震的震级为4级．
(2)，lg ＝3，＝1 000，
即我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍．
核心素养升级练
1．答案：B
解析：根据题意设原来的量为1，经过t年后则变成1×55.2%＝0.552，可得1×()＝0.552，
两边取对数，可得＝log0.50.552，
即t＝5 730×log0.50.552＝5 730×≈4 912，
又由4 912－2 010＋1＝2 903，
所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前2900年．
2．答案：压缩公共汽车线路运营成本　提高乘客的乘车费用
解析：由图(2)知：直线向上平移，故此方案是通过压缩公共汽车线路运营成本减少亏损；由图(3)知：直线的斜率变大，故此方案是通过提高乘客的乘车费用减少亏损．
3．解析：(1)函数模型y＝1.006x，满足奖金y随收益x增加而增加，
因为1.006760≈94.29，
所以当x＝760时，y>90，即奖金超过90万，不满足要求；
函数模型y＝3ln x＋4，当x＝36时，3ln 36＋4≈3.58×3＋4＝14.74>36×20%＝7.2，此时奖金超过收益的20%，不满足要求；
函数模型y＝，满足奖金y随收益x增加而增加，
当x∈[36，900]时，y≤＝30，满足奖金不超过90万元，
又x∈[36，900]时，－＝<0，<，满足奖金不超过收益的20%，函数模型y＝能符合公司的要求．
(2)函数模型y＝a－10，
因为奖金y随收益x增加而增加，所以a>0，
当x＝36时，a－10≥0，解得a≥，
当x＝900时，a－10≤90，解得a≤，
当x∈[36，900]时，a－10≤恒成立，
即a≤＋，
又＋≥2，当且仅当x＝50时等号成立，
所以a≤2，
综上所述，实数a的取值范围是{a|≤a≤2}．
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