4.5.2用二分法求方程的近似解 课时作业（含解析）

4．5.2　用二分法求方程的近似解
必备知识基础练
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
2．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，若f()＝0，则函数f(x)的零点是(　　)
A．(a，b)内的
B．
C．区间(a，)或(，b)内的任意一个实数
D．a或b
3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)
A．(0，0.5)，f(0.125) B．(0，0.5)，f(0.375)
C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25)
4．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，若第一次所取区间为[－2，6]，则第三次所取区间可能是(　　)
A．[－2，－1] B．[－1，1]
C．[2，4] D．[5，6]
5．在用二分法求方程3x＋2x－10＝0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)＝3x＋2x－10，依次计算得f(1)＝－5<0，f(2)＝3>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是(　　)
A．(1，1.5) B．(1.5，1.625)
C．(1.625，1.75) D．(1.75，2)
6．(多选)用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－2在区间[0，2]上的零点近似值取区间中点1，则(　　)
A．下一个存在零点的区间为(0，1)
B．下一个存在零点的区间为(1，2)
C．要达到精确度1的要求，应该接着计算f()
D．要达到精确度1的要求，应该接着计算f()
7．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则f(x0)＝________．
8．[2022·河北沧州高一期末]求方程x3－2x－3＝0在区间(1，2)内的实数根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是________．
关键能力综合练
1．用二分法求方程log2x＋x－4＝0的近似解时，可以取的初始区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(5，6)
2．若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5
f(x) －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51
那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0.1)可以为(　　)
A．1.3 B．1.32
C．1.437 5 D．1.25
3．利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为 0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.6 B．0.75
C．0.7 D．0.8
5．已知函数f(x)＝2x－在区间(1，2)上有一个零点x0，如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(1，2)至少等分的次数为(　　)
A．5　　　 B．6 C．7　　　 D．8
6．(多选)某同学用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7的零点时，计算出如下结果：
f(1.5)＝0.33，f(1.25)＝－0.87，f(1.375)＝－0.26，f(1.437 5)＝0.02，f(1.406 5)＝－0.13，f(1.422)＝－0.05，下列说法正确的有(　　)
A．精确到0.1的近似值为1.375
B．精确到0.01的近似值为1.406 5
C．精确到0.1的近似值为1.437 5
D．精确到0.1的近似值为1.25
7．[2022·广东韶关高一期末]用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01).
8．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2，3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01.
9．用二分法证明方程6－3x＝2x在区间(1，2)内有唯一的实数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确度为0.1).
参考数据：
x 1.125 1.187 5 1.25 1.375 1.5
2x 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
10．已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．
(1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围；
(2)若m＝－4，判断f(x)在(－1，1)上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
核心素养升级练
1．工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起，从其外形无法分辨，仅仅知道假纪念币的质量要比真纪念币稍轻一点点，现用一台天平，通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币，则最多只需称量(　　)
A．4次 B．5次
C．6次 D．7次
2．若函数f(x)＝(a＋2)x2＋2ax＋1有零点，但不能用二分法求其零点，则实数a的值为________．
3．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)
4．5.2　用二分法求方程的近似解
必备知识基础练
1．答案：C
解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点．
2．答案：B
解析：由已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，且f()＝0，故函数的零点为.
3．答案：D
解析：因为f(0)f(0.5)<0，
由零点存在性知：零点x0∈(0，0.5)，
根据二分法，第二次应计算f()，即f(0.25).
4．答案：C
解析：第一次所取区间为[－2，6]，则第二次所取区间可能是[－2，2]，[2，6]；
第三次所取的区间可能是[－2，0]，[0，2]，[2，4]，[4，6].
5．答案：C
解析：根据已知f(1)＝－5<0，f(1.5)<0，f(1.625)<0，f(1.75)>0，f(2)＝3>0，根据二分法可知该近似解所在的区间是(1.625，1.75).
6．答案：AC
解析：因为f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(2)＝22＋6－2>0，f(1)＝21＋3－2>0，
所以f(0)f(1)<0，所以下一个存在零点的区间为(0，1)，故A正确，B错误；
要达到精确度1的要求，应该接着计算f()，故C正确，D错误．
7．答案：－1.625
解析：因为x0是[1，2]的中点，所以x0＝1.5，
所以f(x0)＝f(1.5)＝1.53－2×1.5－2＝－1.625.
8．答案：(，2)
解析：令f(x)＝x3－2x－3，
因为f(1)＝1－2－3＝－4<0，f(2)＝8－4－3＝1>0，
f()＝()3－2×－3＝－6＝－<0，
所以下一个有根的区间是(，2).
关键能力综合练
1．答案：C
解析：令f(x)＝log2x＋x－4，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
f(1)＝log21＋1－4＝－3<0，f(2)＝log22＋2－4＝－1<0，
f(3)＝log23＋3－4＝log23－log22>0，
所以方程log2x＋x－4＝0在区间(2，3)内有解，
所以可取的初始区间为(2，3).
2．答案：B
解析：由f(1.312 5)<0，f(1.375)>0，且f(x)为连续函数，由零点存在性定理知：区间(1.312 5，1.375)内存在零点，故方程x3－x－1＝0的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可．
3．答案：C
解析：设f(x)＝log3x－3＋x，
∵当连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在区间(a，b)上有零点，
即方程log3x＝3－x在区间(a，b)上有解，
又∵f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33－3＋3＝1>0，
故f(2)·f(3)<0，
故方程log3x＝3－x在区间(2，3)上有解，
即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2，3).
4．答案：C
解析：已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
5．答案：C
解析：由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分n次后的区间长度变为原来的，则由题可得<0.01，即2n>100>26，∴n>6，则至少等分的次数为7.
6．答案：AC
解析：∵f(1.375)＝－0.26<0，f(1.437 5)＝0.02>0，∴零点在(1.375，1.437 5)内，又1.437 5－1.375＝0.062<0.1，则AC正确，D错误；∵f(1.406 5)＝－0.13<0，f(1.437 5)＝0.02>0，|1.406 5－1.375|＝0.031 5>0.01，则B错误．
7．答案：1.56
解析：注意到f(1.556 2)＝－0.029和f(1.562 5)＝0.003，显然f(1.556 2)f(1.562 5)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.
8．答案：7
解析：∵区间(2，3)的长度为1，
当7次二分后区间长度为＝<＝0.01，
故要经过7次二分后精确度能达到0.01.
9．解析：设函数f(x)＝2x＋3x－6.
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，函数f(x)在其定义域内是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，
即方程6－3x＝2x在区间(1，2)内有唯一的实数解．
设方程6－3x＝2x的实数解为x0，则x0∈(1，2)，
∵f(1.5)＝1.33>0，∴f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5).
∵f(1.25)＝0.13>0，∴f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25).
∵f(1.125)＝－0.445<0，∴f(1.125)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.125，1.25).
∵f(1.187 5)＝－0.157 5<0，
∴f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25).
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.2，
∴方程6－3x＝2x的实数解的一个近似值为1.2.
10．解析：(1)∵f(x)＝2x2－8x＋m＋3为二次函数，开口向上，对称轴为x＝2，
可知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，
∵f(x)在区间[－1，1]上存在零点，∴，
即，解得：－13≤m≤3，
∴实数m的取值范围是[－13，3].
(2)当m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1为二次函数，开口向上，对称轴为x＝2，
所以f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
∴f(－1)＝9，f(1)＝－7，则f(－1)·f(1)<0，
∴函数f(x)在(－1，1)上存在唯一零点x0，
又f(x)为R上的连续函数，
∵f(0)＝－1<0，∴f(－1)·f(0)<0，
∴x0∈(－1，0)，
∵f(－)＝>0，∴f(－)·f(0)<0，
∴x0∈(－，0)，
∵f(－)＝>0，∴f(－)·f(0)<0，
∴x0∈(－，0)，
∵f(－)＝>0，∴f(－)·f(0)<0，
∴x0∈(－，0)，
此时误差为＝<0.1，即满足误差不超过0.1，
∴零点所在的区间为(－，0).
核心素养升级练
1．答案：C
解析：求解时需将64枚纪念币均分为两组，分别称其质量，假的一定在轻的那一组，
再将这一组(共32枚)均分为两组，称其质量，这样一直均分下去，
6次就能找出那枚假的，即最多只需称量6次．
2．答案：2或－1
解析：由题意得，函数f(x)＝(a＋2)x2＋2ax＋1有零点，但不能用二分法求其零点，
可知函数f(x)的图象在x轴上方或下方(包括x轴)，且与x轴有交点，
当a＋2＝0，即a＝－2时，f(x)＝－4x＋1，能用二分法求零点，不符合题意；
当a＋2≠0，即a≠－2时，此时f(x)＝(a＋2)x2＋2ax＋1为二次函数，
而f(x)有零点，但不能用二分法求其零点，
可知函数f(x)的图象与x轴有1个交点，
即(a＋2)x2＋2ax＋1＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4a2－4(a＋2)＝0，解得：a＝2或a＝－1.
3．解析：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域．
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