高中数学人教A版（2019）必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式（能力篇）（有解析 ）

一、单选题
1．已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）
A．{x|＜x＜1} B．{ x|x＜或x＞}
C．{x|＜x＜} D．{x|x＜或x＞1}
2．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知，关于x的不等式的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知命题对，不等式恒成立，则命题p成立的必要不充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是___________.
10．已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．
11．记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.
12．不等式的解是___________.
四、解答题
13．已知一元二次函数的图像与轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为，且当时，恒有．
（1）当，时，求出不等式的解；
（2）求出不等式的解（用表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求的取值范围；
（4）若不等式对所有恒成立，求实数的取值范围．
14．已知函数．
（1）若函数在范围上存在零点，求的取值范围；
（2）当时，求函数的最小值．
15．设函数．
(1)若不等式的解集是，求不等式的解集；
(2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围．
16．设函数
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值
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参考答案：
1．A
【解析】根据不等式ax2﹣bx+2＞0的解集求出a、b的值，再代入不等式2x2+bx+a＜0中求解集．
【详解】不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|＜x＜2}，
所以，2是方程ax2-bx+2＝0的两个实数根，且a＜0，
由根与系数的关系知，解得；
所以不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣x﹣1＜0，
解得＜x＜1；
所以不等式2x2+bx+a＜0的解集为{x|＜x＜1}．
故选：A．
【点睛】结论点睛：若一元二次不等式的解集为或，则是方程的两个根.
2．D
【分析】当时，直接分析即可；当时，根据一元二次不等式恒成立的思想进行分析.
【详解】当时，即，此时恒成立，满足条件；
当时，因为对任意实数都成立，
所以，解得，
综上可知，，
故选：D.
3．A
【分析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：不等式的解集是，
即对于，恒成立，
即，
当时，，
当时，，
因为，
所以，
综上所述.
故选：A.
4．B
【分析】对不等式进行因式分解，根据题意得到，解不等式，然后结合题意分类讨论即可.
【详解】∵不等式，即恰有2个整数解，
∴，解得或.
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得；
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是-或.
故选：B.
【点睛】关键点睛：根据不等式解的情况得到不等式，运用分类讨论方法进行求解是解题的关键.
5．A
【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围．
【详解】不等式在内有解等价于时，.
当时，，所以.
故选：A.
6．A
【分析】先分离参数，再由基本不等式得出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为时，恒成立，所以在恒成立
因为，当且仅当，即或（舍）等号成立
所以
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题以及基本不等式的恒成立问题，属于中档题.
7．BCD
【分析】分，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式等价于，解得或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式等价于，解得或．
故选:BCD．
8．CD
【分析】先分类讨论，，求解命题p成立的等价条件，再结合充分条件、必要条件的定义即得解
【详解】由题意，
（1）当时，
若，不等式为，恒成立；
若，不等式为，对不恒成立.
（2）当时
解得：
综上命题p成立的等价条件为
若选项A、B、C、D为命题p成立的必要不充分条件，则为A、B、C、D中对应范围的真子集，满足条件的有C、D
故选：CD
9．
【分析】分别求出命题，为真时对应的的取值范围，依题意可知命题，一真一假，进而可求得结果.
【详解】对于：成立，而，有，
∴，∴；
对于：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
若为假命题，为真命题，则，一真一假.
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或，即实数的取值范围是.
故答案为：.
10．
【分析】令，可得或，由题易知的最小值，的最大值，则可求出答案.
【详解】，，
令，得或．
因为，，
所以的最小值，的最大值，
所以．
故答案为：.
11．
【分析】首先将不等式变形，再对与分三种情况讨论，分别求出集合，根据集合的包含关系得到不等式组，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：原不等式可变形为，
当，即时，，满足题意；
当，即时，，所以，解得，所以；
当，即时，，所以，解得.
综上可得，即；
故答案为：
12．
【分析】将分式不等式化为，则有即可求解集.
【详解】由题设，，
∴，可得，
原不等式的解集为.
故答案为：.
13．（1）；（2）；（3）；（4）或或．
【分析】（1）根据根与系数的关系，求出的另一根，得到不等式的解；
（2）根据根与系数的关系，求出另一根，并判断两根的大小，得到不等式的解；
（3）先求出的图像与坐标轴的交点，表示出以这些点组成的三角形的面积，再将用表示出来，再求得的范围；
（4）根据，得到的关系式，化简不等式，将分离，分离时注意讨论的符号，求得实数的范围.
【详解】（1）当，时，，的图像与轴有两个不同交点，
设另一个根为，则，，则的解集为．
（2）的图像与轴有两个交点，，设另一个根为，
则 又当时，恒有，则，
∴的解集为．
（3）由（2）的的图像与坐标轴的交点分别为
这三交点为顶点的三角形的面积为，
，故．
（4），∴，又∵，∴，
要使，对所有恒成立，则
当时，；
当时，；
当时，，对所有恒成立．
从而实数的取值范围为或或．
【点睛】本题考查了二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三个二次之间关系及应用，根与系数的关系，恒成立求参问题，参变分离技巧，属于中档题.
14．（1） （2）
【分析】（1）参变分离转化为存在，使得成立，求导分析的单调性和取值范围，即得解；
（2）函数对称轴为，分，，三种情况讨论，即得解
【详解】（1）由题意，函数在范围上存在零点
即存在，使得成立
令，则
令（舍）
所以当时，；当时，
即在单调递增，在单调递减，又
即的取值范围是
（2），对称轴为
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
综上：
15．(1)或
(2)
【分析】（1）由题意，是方程的解，利用韦达定理求解，代入，结合一元二次函数、方程、不等式的关系求解即可；
（2），代入转化不等式为，换元法求解的最大值即可
(1)
因为不等式的解集是，
所以是方程的解
由韦达定理
解得
故不等式为，
即
解得或
故不等式得其解集为或
(2)
当时，
在上恒成立，
所以
令，则
令，则，
由于均为的减函数
故在上为减函数
所以当时，取最大值，且最大值为3
所以
所以
所以实数的取值范围为.
16．（1）；（2）9．
【分析】（1）由不等式的解集．，3是方程的两根，由根与系数的关系可求，值；
（2）由，将所求变形为展开，整理为基本不等式的形式求最小值．
【详解】解析：（1）∵不等式ax2＋bx＋3>0的解集为(－1，3)，∴－1和3是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，
从而有 解得．
（2）∵a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝ (a＋b)= 5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值为9．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，运用基本不等式求最值，属于中档题．
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