高中数学人教A版（2019）必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式（拓展篇）（有解析 ）

一、单选题
1．若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为（ ）.
A．24 B．12 C．20 D．16
3．已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，二次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
6．设表示函数在闭区间I上的最大值．若正实数a满足，则正实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________.
10．若对恒成立，则实数的取值范围为______.
11．若非负实数满足，则的最大值为_____.
12．若 ，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___．
四、解答题
13．已知函数．
（1）若函数的解集为，求函数的解集；
（2）若，，，试证明：对于任意，有；
（3）若时，有，求证：当，．
14．设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
15．已知不等式，其中x，k∈R．
(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；
(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
16．已知函数满足对任意的实数都有成立，且当都有成立.
（1）若求的表达式；
（2）设，若函数图像上的点都位于直线的上方，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】依题意可得，0＜k＜1，结合函数 y＝k|x|与 y＝﹣|x﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由 x，即可得k.
【详解】解：依题意可得，0＜k＜1，
函数 y＝k|x|与 y＝﹣|x﹣2|的图象如下，
由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，
由 xB，故k；
故选：C
【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．
2．D
【分析】将二次函数化成顶点式，即可求出函数的值域，找出的关系，再根据三个＂二次＂的关系，可知，和是不等式对应的一元二次方程的根，由根与系数的关系，即可求出c的值．
【详解】因为，值域为 ，，即，又即为的解集为，所以和是的两个根，因为的任意性，不妨设，所以有，
解得，所以，经检验，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次函数的值域求法以及三个＂二次＂的关系应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．
3．B
【分析】由分段函数首先讨论或的取值范围，代入对应解析式，求出的取值范围；再讨论的范围，代入对应解析式，解不等式即可.
【详解】当时，由，，
则，解得，
当时， 可得，
解得，
此时可得；
当时，可得，
即，解得，
此时可得；
当时，可得，
解得或，所以，
当时，可得，此时无解；
当时，可得，
解得或，
此时可得；
综上所述，实数的取值范围是
故选：B
【点睛】本题考查了由分段函数的特征，解绝对值不等式、一元二次不等式，考查了分类讨论的思想运用，属于中档题.
4．A
【分析】先去掉绝对值号，写成分段函数的形式，然后根据题中函数在区间上是单调函数的信息，分类讨论，，的情况下，函数是单调函数，从而求出的范围.
【详解】解：
（1）若，当时，在上单调递减，符合题意；
（2）若，则在上单调递减，在上单调递增，
若在上是单调函数，，则；
（3）若，则在上单调递减，在上单调递增，
若在上是单调函数，则，所以.
即综上，的取值范围是.
故选：A
5．D
【详解】因为,二次函数，那么可知，
在A中，a<0,b<0,c<0，不合题意；
B中，a<0,b>0,c>0，不合题意；
C中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D.
6．A
【分析】作图分析函数的特点，再分类讨论.
【详解】函数的图像如下：
的对称轴为x=2，，；
分类讨论如下：①当时，，
依题意，，而函数在时是增函数，，
，故不可能；
②当时，，依题意，，即，
令，解得：，，，，如图；
则有：并且，解得：；
或者并且，无解；
故选：A.
7．ACD
【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.
【详解】由题设，的解集为，
∴，则，
∴，，则A、D正确；
原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，
∴由图知：，，故B错误，C正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.
8．BC
【分析】由题意可得，则，，依题意可得：，然后结合根的对称性分析得答案．
【详解】是函数的一个零点，
，
，则，，
，．
由，，得①，由，得，即②，
由①②得：．
函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为，则．
零点到对称轴的距离，，
另一零点为，，，
因为，所以，
故，
，
综合四个选项，实数的值可能是和．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解二次函数根的对称分布性.
9．
【分析】将不等式的解集为转化为的解为及当时，恒成立，从而可求得.
【详解】不等式等价于或，
而的解集为，
故的解为
且对任意的恒成立.
又即为，
若，则即为，这与解为矛盾；
若，则即为，这与解为矛盾；
若，则即为，
因为的解为，故.
当时，恒成立即为恒成立，
令，则，
故在为增函数，故，
故.
综上，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：与分段函数有关的不等式解的问题，应该就不同解析式对应的范围分类讨论，讨论时注意结合解析式的形式确定分类讨论还是参变分离.
10．
【解析】根据绝对值定义，将不等式转化为两个不等式恒成立问题，最后求交集得结果.
【详解】因为对恒成立，
当时，或恒成立，
因此；
当时，恒成立，
因此；
综上：
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立、绝对值定义，考查综合分析求解能力，属较难题.
11．
【解析】令，结合题意，得到，根据关于的方程必须有解，利用，求得以，即可求解.
【详解】令，
则，两边平方，可得， （1）
因为，
所以， （2）
由（1）（2）可得，
整理得，
因为关于的方程必须有解，所以，
解得，因为，所以，所以的最大值为16，
即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】解答中把转化为关于的方程必须有解，结合二次函数的性质求解是解答本题的关键.
12．
【分析】对不等式进行因式分解，，利用分离变量法转化为对应函数最值，即得到答案.
【详解】，
即：恒成立
所以
故答案为
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，因式分解是解题的关键.
13．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）由的解集为，得到的两个零点为2和3，得到a，b，c的关系求解；，
（2）由，解得a，b，c，得到，然后分，，取绝对值后放大利用二次函数性质证明；
（3）由，利用绝对值三角不等式证明.
【详解】（1）因为的解集为，
所以的两个零点为2和3，
则，
即，
所以，
所以的解集为．
（2）由，
得，
所以，
①当时，
，
，
．
②当时，
，
，
．
所以任意，有．
（3）由（2）知，
，
．
所以当，．
【点睛】关键点点睛：本题（2）（3）关键是由，，放缩，集合绝对值三角不等式而得解.
14．(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析.
【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，
综上，，
所以实数的取值范围是；
(2)不等式对于实数时恒成立，即，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是；
(3) 不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
15．(1)或或}
(2)
【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．
（1）
若x＝4，则不等式变形为
即，
解得或，
所以 或或，
故不等式的解集为或或}；
（2）
令，
则不等式对任意k∈R恒成立，
等价于对任意t≥1恒成立，
因为，
当且仅当，即t＝时取等号，
所以x≤，
故x的最大值为．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）根据满足对任意的实数都有成立，且当都有成立，得到且，即，再结合，满足对任意的实数都有成立求解；
（2）将在上恒成立，转化为在上恒成立求解.
【详解】（1）因为满足对任意的实数都有成立，且当都有成立
所以且
故，
又因为，
所以，
解得
因为满足对任意的实数都有成立，
即对任意的实数都有成立，
所以，
即，
解得，
所以，
所以.
（2）由题意得在上恒成立，
即在上恒成立，
当时2>0恒成立，
当时，原式等价于在上恒成立，
令，
当且仅当时取得等号，
所以，
所以.
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