高中数学人教A版（2019）必修第一册3.2函数的基本性质（能力篇）（有解析 ）

一、单选题
1．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为定义在上的偶函数，是的导函数，若当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
二、多选题
7．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增
D．函数有4个单调区间
8．已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减 B．
C． D．
三、填空题
9．已知偶函数在上是减函数，且，则的解集__________
10．设函数则不等式的解集为________．
11．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
12．若函数称为“准奇函数”，则必存在常数，使得对定义域内的任意值，均有，请写出一个的“准奇函数”(填写解析式)：___________.
四、解答题
13．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．
(1)求f（x）的解析式；
(2)当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．
14．已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
15．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围.
16．已知函数.
(1)用函数单调性的定义证明在区间上为增函数;
(2)解不等式.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围．
【详解】解：因为，所以，
当时，的最小值为；
当时，，，
由知，，
所以此时，其最小值为；
同理，当，时，，其最小值为；
当，时，的最小值为；
作出如简图，
因为，
要使，
则有．
解得或，
要使对任意，都有，
则实数的取值范围是．
故选：A．
2．A
【分析】构造函数，由，结合已知条件知的区间单调性，进而得到在上恒负，在上也恒负，即可求解函数不等式的解集.
【详解】，
在为减函数，而，
而在上，，，所以；
在上，，，所以；
由在成立，可知，
∴在上，，又函数为偶函数，
∴在上，
不等式等价于，
∴.
故选：A.
【点睛】思路点睛：
（1）构造，由已知条件知在为单调递减且.
（2）由在、的符号及，得到在上恒负.
（3）由奇偶性判断在定义域上的符号.
（4）由函数不等式求解集即可.
3．D
【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.
【详解】，在上单调递减，又为偶函数，
，，，解得：或，
的解集为.
故选：D.
4．B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
5．C
【分析】首先考虑的图象经过原点，可得，判断为偶函数时，求得，进而判断C；再讨论，，，，，分别判断A、B、D．
【详解】解：若的图象经过原点，可得，即，
，
若的图象关于轴对称，可得为偶函数，即，可得，即，故C不可能成立；
当，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为连续函数，故A可能成立；
当，，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故B可能成立；
若，则，
当，，即有，，可得为偶函数，其图象关于轴对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故D可能成立．
故选：C．
6．C
【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】解：根据题意，函数，
若在区间上单调递减，必有，
解可得：或，即的取值范围为，，，
故选：C．
7．ABD
【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD
8．BCD
【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.
【详解】方法一：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，
由题意，得，关于直线对称，
易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，
由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）
且的一个周期为4，所以，故D正确．
备注：，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
方法二：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，
又由，得，
所以，故正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，
将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故正确．
故选：BCD
9．
【分析】分和两种情况讨论x的范围，根据函数的单调性可得到答案.
【详解】因为是偶函数，且，所以，
又在上是减函数，所以在上是增函数，
①当时，由得，又由于在上为减函数，且，所以，得；
②当时，由得，又，在上是增函数，所以，所以.
综上，原不等式的解集为：.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且.偶函数在对称区间上的单调性相反，且..
10．
【分析】根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.
【详解】由函数解析式知在R上单调递增，且，
则，
由单调性知，解得
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.
11．
【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】由题知，，
所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，
由单调递增，单调递增，
易知函数单调递增，
故等价于
等价于
即，解得．
故答案为：
12．(答案不唯一)
【分析】所有关于点中心对称的函数均满足题意
【详解】解析：由，知“准奇函数”的图象关于点对称，若，即图像关于点对称，如向右平移两个单位，向上平移两个单位，得到，故其图象就关于点对称.
故答案为：(答案不唯一)
13．(1)
(2)，的最小值为
【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解；
（2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求．
(1)
若，则，则，
为偶函数，则，
故.
(2)
当时，，开口向上，对称轴，
当时，，函数最小值为；
当时，，函数最小值大于.
故，.
14．（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递增，证明见解析.
【解析】（1）取结合得出，再由证明函数的奇偶性；
（2）由奇偶性得出，再由函数单调性的定义结合证明函数在上的单调性.
【详解】解：（1）依题意，.
∴
∴，
又因为的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）由④知，
，
∵，，，∴，
∴
即在上单调递增.
【点睛】关键点睛：在证明奇偶性时关键是利用求出，再由定义证明函数为偶函数；在证明单调性时，关键是由，结合，证明在上单调递增.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；
（2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围．
(1)
因为函数为定义域上的奇函数，所以，
当时，，所以，
因为是奇函数，所以，
所以，
所以
(2)
作出在区间上的图象，如图：
可得函数在上为减函数，所以的最小值为，
要使对所有，恒成立，
即对所有恒成立，
令，，
则，即，
可得：，
所以实数的取值范围是.
16．(1)证明见解析;(2).
【解析】（1）通过计算，证得在区间上为增函数.
（2）利用的单调性，化简不等式，由此求得不等式的解集.
【详解】（1）的定义域为.任取，则.
当时，，而，所以，所以在区间上为增函数.
（2）由于，且由（1）知在区间上为增函数，所以由可得，即，解得.
【点睛】本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.
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