一、单选题
1.若奇函数满足,且当时,.则的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
2.函数,则满足的所有实数x的和为( )
A. B.6 C.8 D.
3.定义在正整数上的函数满足,则( )
A. B. C. D.
4.已知函数,,若对任意,总存在,使得,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[﹣1.08]=﹣2,定义函数f(x)=x﹣[x],则下列命题中正确的是( )
①函数f(x)的最大值为1;
②函数f(x)的最小值为0;
③方程有无数个根;
④函数f(x)是增函数.
⑤是函数恰有三个零点的充要条件
A.②③ B.①②③ C.②③⑤ D.③④⑤
6.定义在上的函数满足,且当时,若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
7.设函数,则( )
A.在单调递增 B.的值域为
C.的一个周期为 D.的图像关于点对称
8.(多选)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯,其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数,表示不超过x的最大整数,例如.已知,,则函数的值可能为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
三、填空题
9.已知定义在R上的单调函数,其值域也是R,并且对任意,都有,则等于___________.
10.若函数的值域为,则函数的值域是_____________.
11.已知函数的定义域为R,为偶函数,为奇函数,且当时,.若,则______.
12.已知函数在区间上的最大值是1,则实数a的取值范围是____.
四、解答题
13.已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是.给定函数.
(1)求函数图象的对称中心;
(2)判断在区间上的单调性(只写出结论即可);
(3)已知函数的图象关于点对称,且当时,.若对任意,总存在,使得,求实数的取值范围.
14.已知,函数.
(1)判断函数的奇偶性,请说明理由;
(2)求函数在区间上的最小值;
(3)设,函数在区间上既有最大值又有最小值,请分别求出,的取值范围.(只要写出结果,不需要写出解题过程)
15.若函数对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在唯一的,使成立,则称函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数在定义域且上为“依赖函数”,求的值;
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数,使得对任意的,不等式都成立,求实数的取值范围.
16.已知函数(为常数)
(1)若函数图象上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为,求实数的值;
(2)设,若不等式在有解,求的取值范围;
(3)定义:区间()的长度为,若,问是否存在区间,使得的值域为[6,7],若存在,求出此区间长度的最大值与最小值的差.
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.B
【分析】由函数为奇函数和关于对称,可得函数周期为4,进而可得结果.
【详解】为奇函数,
,函数关于对称
所以函数周期为4,
故选:B
【点睛】关键点点睛:抽象函数有对称中心和对称轴,可推出周期.本题考查了逻辑推理能力和运算求解能力,属于难题.
2.A
【分析】判断函数为R上的偶函数,且在上为单调增函数,由已知可得或,即可求解.
【详解】,所以函数为R上的偶函数,
设,且
则
,,,
,所以函数为上的单调增函数
由,可得或,
当时,即,判别式,故方程有两个根,得
当时,即,判别式,故方程有两个根,得
所以满足的所有实数x的和为
故选:A
【点睛】方法点睛:本题考查函数的单调性与奇偶性,利用定义判断函数的单调性:设,且,作差,化简成因式之积,判别的符号,即可判断函数的单调性.
3.C
【分析】由已知结合换元法求出函数的周期,进而得解.
【详解】①
②
由①②可得
,
所以函数的周期,
故选:C
4.D
【分析】根据二次函数的性质求出在时的值域为,再根据一次为增函数,求出,由题意得值域是值域的子集,从而得到实数a的取值范围.
【详解】解:∵函数的图象是开口向上的抛物线,且关于直线对称
∴时,的最小值为,最大值为,
可得值域为
又∵,,
∴为单调增函数,值域为
即
∵,,使得,
∴
故选:D.
【点睛】本题着重考查了函数的值域,属于中档题.解题的关键是将问题转化为值域的包含关系问题.
5.A
【分析】根据定义,画出函数其图象,观察图象,利用数形结合思想即可得作出判断.
【详解】解:由定义可得
所以函数,
其图象:
可得:①函数的无法取到1,无最大值,故不正确;
②当时函数取得最小值为0,正确;
③方程的根的个数,即为函数与直线的图象的交点个数,显然有无穷多个,故正确;
④,故不是增函数,因此不正确.
⑤函数恰有三个零点即图象与有三个交点,
借助图象可知时也有符合条件的取值范围,故⑤错误.
故选:A.
【点睛】本题考查函数的最值和单调性,涉及新定义型函数,数形结合思想,属于中档题.
6.C
【分析】若对任意的,不等式恒成立,即对,不等式恒成立,,进而可得答案.
【详解】当时,单调递减,,
当时,单调递减,,
故在上单调递减,
由,得的对称轴为,
若对任意的,不等式恒成立,
即对,不等式恒成立,
,
即,
即,
故实数的最大值为.
故选:C.
7.BC
【解析】根据余弦函数及指数函数的单调性,分析复合函数的单调区间及值域,根据周期定义检验所给周期,利用函数的对称性判断对称中心即可求解.
【详解】令,则,显然函数为增函数,
当时,为减函数,
根据复合函数单调性可知,在单调递减,
因为,
所以增函数在时,,
即的值域为;
因为,
所以的一个周期为,
因为,令,
设为上任意一点,
则为关于对称的点,
而,
知点不在函数图象上,
故的图象不关于点对称,即的图像不关于点对称.
故选:BC
【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质,指数函数的性质,复合函数的单调性,考查了函数的周期性,值域,对称中心,属于难题.
8.BCD
【分析】利用常数分离法知,根据x的取值范围结合不等式的性质求出的取值范围,进而得到函数的值.
【详解】,
当时,,,,
此时的取值为1;
当时,,,,
此时的取值为2,3.
综上,函数的值可能为.
故选:BCD.
9.2021
【分析】根据给定的抽象函数关系,利用赋值法进行推理计算作答.
【详解】因对任意,都有,则取,有,取,有,
于是得:,又函数在R上的单调,则,
因函数的值域也是R,令,则有,
因此,,即,则有,
所以.
故答案为:2021
10.
【解析】根据题意,,通过换元法,,,则,得是在第一象限的双钩函数,通过函数的单调性,求的最值,即可求出的值域.
【详解】解:函数的值域为,,
设,,
则,得是在第一象限的双钩函数,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
,即,
而, ,
,
所以的范围是.
故答案为:.
【点睛】本题考查函数的值域,通过利用函数的单调性求最值,考查转化思想和计算能力.
11.0
【分析】根据题意可得关于对称,也关于(1,0)对称,进一步得到周期为4,再求出的值,最后可求出的值.
【详解】解:因为为偶函数,
所以=,即=,
所以函数关于对称,所以=,
又因为为奇函数,
所以=-,
所以函数关于(1,0)对称,=-=-,
即=-,
所以=-,=-=,
即=,
所以的周期为4,
在=-中令 ,得,所以 ,即,
又因为,所以,即,所以,
所以当时,,
所以,
所以,
,
,
,
所以则0.
故答案为:0.
12..
【分析】由已知可得,即,得到,再求解绝对值不等式,得到,先得出的范围,进而得到a的范围.
【详解】∵函数在区间上的最大值是1,∴,
∴,∵,∴,∴,
在区间上,,
∴时,在处取最大值,即,
∴.
故答案为:.
13.(1);(2)在区间上为增函数;(3).
【解析】(1)根据题意可知,若函数关于点中心对称,则,
然后利用得出与,代入上式求解;
(2)因为函数及函数在上递增,所以函数在上递增;
(3)根据题意可知,若对任意,总存在,使得,则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集,然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域,根据集合间的包含关求解参数的取值范围.
【详解】解:(1)设函数图象的对称中心为,则.
即,
整理得,
于是,解得.
所以的对称中心为;
(2)函数在上为增函数;
(3)由已知,值域为值域的子集.
由(2)知在上单增,所以的值域为.
于是原问题转化为在上的值域.
①当,即时,在单增,注意到的图象恒过对称中心,可知在上亦单增,所以在上单增,又,,所以.
因为,所以,解得.
②当,即时,在单减,单增,
又过对称中心,所以在单增,单减;
此时.
欲使,
只需且
解不等式得,又,此时.
③当,即时,在单减,在上亦单减,
由对称性,知在上单减,于是.
因为,所以,解得.
综上,实数的取值范围为.
【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用,难点在于(3)的求解,解答时应注意以下几点:
(1)注意划归与转化思想的运用,将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解;
(2)注意分类讨论思想的运用,结合对称性,分析讨论函数的单调性及最值是关键.
14.(1)当时,是奇函数,当时,是非奇非偶函数;(2) ;(3)答案见解析.
【分析】(1)将给定函数按a值是否为0分类,再结合奇偶函数定义即可判断;
(2)根据a与区间的关系分类讨论求解即可;
(3)由给定条件借助函数图象即可得,的取值范围.
【详解】(1)当时,,则,是R上的奇函数,
当时,,,则有,且,即既不是奇函数,也不是偶函数,
所以,当时,是奇函数,当时,是非奇非偶函数;
(2)因,则当时,,当且仅当时取“=”,即,
当时,,显然,即在上递增,,
当时,,对称轴,当时,,当时,,
综上得:
(3)当时,函数,函数在区间上既有最大值又有最小值,
当时,函数图象如上左图,由解得:,
则有,,
当时,函数图象如上右图,由解得:,
则有,,.
【点睛】思路点睛:分段函数问题中参数值影响变形时,往往要分类讨论,需有明确的标准、全面的考虑.
15.(1)是,理由见解析;(2)5;(3).
【分析】(1)根据新函数的定义判断;
(2)利用函数上是单调函数,新定义说明,结合可求得;
(3)由单调性及新定义求得值,然后有不等式都成立,求出的最大值,得关于的不等式恒成立,由判别式可得范围.
【详解】解:对于函数的定义域R内任意的,取,则,
且由是R上的严格增函数,可知的取值唯一,
故是“依赖函数”
因为,在是严格增函数,
故,即,
由,得,
又,所以,解得 故
因,故在上单调递增,
从而,即,进而,
解得或舍,
从而,存在,使得对任意的,有不等式都成立,
故,即,
整理,得对任意的恒成立.
由,得,即实数s的取值范围是.
【点睛】本题考查函数新定义,解题关键是在于理解新定义,利用新定义进行转化,结合函数的单调性易得关系式.不等式能恒成立问题求解时的转化要注意求函数的最大值还是最小值,如在上恒成立,则,而存在使得成立,则.
16.(1);(2)当时,;当时,;(3)存在,最大值3,最小值1,差为2.
【分析】(1)根据题意,设点,结合两点之间的距离公式和均值不等式,即可求解;
(2)根据题意,可知在有解,令,则等价于在上恒成立,再结合开口向下的二次函数的图象性质,讨论即可求解;
(3)根据题意,结合的图象性质,可知,进而可求解.
【详解】(1)设点,
则点P到定点Q(0,2)的距离,
当时,,不合题意;
当时,由,得,
又因,所以,即,
解得.
(2)由不等式在有解,
得在有解,
令,则,
此时在有解,等价于在上恒成立,
令,,
因,所以在端点处取得最小值,
①当,即时,,故;
②当,即时,,故.
综上,当时,;当时,.
(3)由题意得,结合图象可知,在上单调递减,在上单调递增,且,,
因在区间上,的值域为[6,7],
所以,,区间长度的最大值与最小值的差为,
故存在,且最大值3,最小值1,差为2.
【点睛】求函数最值和值域的常用方法:
(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值;
(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值;
(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值;
(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值;
(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
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