一、单选题
1.已知函数,若,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知命题:幂函数在上单调递增;命题:若函数为偶函数,则的图象关于直线对称.则下列命题为假命题的是( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数的图象关于y轴对称,且在上单调递减,则满足的a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.已知幂函数满足,若,,,则,,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
5.点在幂函数的图象上,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.若,,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题
7.下列说法正确的是( )
A.命题“,”的否定是“,”
B.幂函数为奇函数
C.的单调减区间为
D.函数的图象与y轴的交点至多有1个
8.下列说法正确的有( )
A.命题若,则的否定为命题若,则
B.幂函数在上为增函数的充要条件为
C.“正方形是平行四边形”是一个全称量词命题
D.至少有一个整数,使得为奇数
三、填空题
9.函数,其中,则其值域为___________.
10.设f(x)是定义在R上周期为2的函数,当x∈(-1,1]时,,其中m∈R.若f()=f(),则m的值是___________.
11.已知为幂函数,且满足,若,则实数的取值范围是_________.
12.已知是奇函数,当时,,则______.
四、解答题
13.已知幂函数()的图像关于轴对称,且.
(1)求的值及函数的解析式;
(2)若,求实数的取值范围.
14.已知幂函数()在是严格减函数,且为偶函数.
(1)求的解析式;
(2)讨论函数的奇偶性,并说明理由.
15.已知幂函数是偶函数,且在上单调递增.
(1)求函数的解析式.
(2)若,求的取值范围.
16.已知幂函数在上为减函数.
(1)试求函数解析式;
(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.A
【分析】构造函数,容易判断为奇函数,且在R上单调递增,进而将原不等式转化为,最后根据单调性求得答案.
【详解】设,,则,即为奇函数,容易判断在R上单调递增(增+增),又可化为,,所以a >1-2a,∴ a >.
故选:A.
2.C
【分析】首先分别判断命题和命题的真假,然后再根据逻辑连接词“且”、“或”、“非”进行判断即可.
【详解】是偶函数,
幂函数在上单调递减,
在上单调递增,
命题为真命题;则为假命题;
函数为偶函数,
的图象关于直线对称
命题为真命题;则为假命题;
又逻辑连接词“且”为“一假必假”,“或”为“一真必真”,
则对于A,为真命题;
对于B,为真命题;
对于C,为假命题;
对于D,为真命题;
故选:C.
3.D
【分析】由条件知,,可得m=1.再利用函数的单调性,分类讨论可解不等式.
【详解】幂函数在上单调递减,故,解得.又,故m=1或2.
当m=1时,的图象关于y轴对称,满足题意;
当m=2时,的图象不关于y轴对称,舍去,故m=1.
不等式化为,
函数在和上单调递减,
故或或,解得或.
故应选:D.
4.C
【分析】由可求得,得出单调递增,根据单调性即可得出大小.
【详解】由可得,∴,
∴,即.由此可知函数在上单调递增.
而由换底公式可得,,,
∵,∴,于是,
又∵,∴,故,,的大小关系是.
故选:C.
【点睛】关键点睛:本题考查利用函数单调性判断大小,解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.
5.B
【分析】根据点在幂函数的图象上,求出,求出函数的定义域,结合基本不等式即可得出所求.
【详解】解:因为点在幂函数的图象上,
所以,即,
,所以,
故,,
,
因为,所以,
所以,
所以函数的值域为.
故选:B.
6.A
【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系.
【详解】因为在上单调递减,所以,即,
又因为在上单调递增,所以,即,
所以,
故选:A.
【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小,难度一般.注意幂函数当时在上单调递增.
7.ABD
【分析】由存在量词命题的否定的定义判断A;利用幂函数的定义及奇函数的概念判断B;由判断C;由函数的定义判断D.
【详解】对于A项,由存在量词命题的否定的定义可知,命题“,”的否定是“,”,A正确;
对于B项,由幂函数的概念有,则或,当时,为奇函数,当时,为奇函数,所以选项B正确;
对于C项,由可知,C错误;
对于D项,由函数的定义可知,若在定义域内,则有且只有一个与之对应,即函数的图象与轴的交点只有一个,若不在定义域内,则函数的图象与轴无交点,所以函数的图象与轴的交点至多有1个,D正确.
故选:ABD.
8.BC
【分析】A选项,全称命题的否定是特称命题;B选项,可以先由为幂函数求出的值,再代回函数的的解析式判断单调性;C选项可以改写成全称命题的标准形式;D选项举反例
【详解】对于A
命题:若,则的否定为命题:存在实数,使得.
所以A错误
对于B
因为为幂函数
所以,则或
当时,在上单调递增
当时,在,上单调递减.不合题意应舍去.
所以B正确
对于C
“正方形是平行四边形”即“任意一个正方形都是平行四边形”,显然是一个全称量词命题.
所以C正确
对于D
当为奇数,则为偶数,所以为偶数;
当为偶数,则为奇数,所以为偶数
综上,若为整数,则为偶数
所以D错误
故选:BC
9.##
【分析】利用换元法将函数化为,结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】设,则.因为,所以. 当时,.所以函数的值域为.
故答案为:
10.
【分析】分别计算f()和f(),解方程求出m.
【详解】
由f()=f()可得:,解得:
故答案为:1
11.
【分析】由幂函数定义及,即可求出幂函数的解析式,进而由函数在定义域上单调递增且,即可求的范围
【详解】设,则有,解得
∴,且函数在上单调递增
∵
∴,解得
故答案为:
【点睛】本题考查了幂函数,由幂函数的定义及已知条件求出幂指数,进而得到解析式,再根据所得幂函数的单调性及已知不等关系求参数范围
12.-4
【分析】先由奇函数的性质求出的值,从而可求出函数解析式,进而可求得结果
【详解】因为是奇函数,当时,,
所以,得,
所以,,
因为是奇函数
所以,
故答案为:
13.(1);(2).
【解析】(1)由,得到函数在区间为单调递增函数,即求解.
(2)根据函数图象关于轴对称,且在区间为单调递增函数,将不等式,转化为求解.
【详解】(1)由题意,函数()的图像关于轴对称,且,
所以在区间为单调递增函数,
所以,解得,
由,。
又函数的图像关于轴对称,
所以为偶数,
所以,
所以.
(2)因为函数图象关于轴对称,且在区间为单调递增函数,
所以不等式,等价于,
解得或,
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
14.(1);(2)当时,为偶函数;当时,为奇函数;当且时,为非奇非偶函数.理由见解析.
【解析】(1)由题意可得:,解不等式结合即可求解;
(2)由(1)可得,分别讨论、、且时奇偶性即可求解.
【详解】(1)因为幂函数()在是严格减函数,
所以,即 ,解得:,
因为,所以,
当时,,此时为奇函数,不符合题意;
当时,,此时为偶函数,符合题意;
当时,,此时为奇函数,不符合题意;
所以,
(2),
令
当时,,,此时是奇函数,
当时,,此时是偶函数,
当且时,,,
,,此时是非奇非偶函数函数.
【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是利用幂函数的单调性求出可能性的取值,再利用奇偶性可确定的值,即可求解析式,第(2)问注意讨论的值.
15.(1);
(2).
【分析】(1)利用幂函数的性质求参数,进而写出函数解析式.
(2)根据偶函数的性质及区间单调性求x的范围.
(1)
由是幂函数,则,解得,又是偶函数,
∴是偶数,
又在上单调递增,则,可得,
∴或2.
综上,,即.
(2)
由(1)偶函数在上递增,
∴
∴的范围是.
16.(1)
(2)奇函数,其单调减区间为,
【分析】(1)根据幂函数的定义,令,求解即可;
(2)根据幂函数的性质判断函数的单调性,继而可得其单调区间.
(1)
由题意得,,解得或,
经检验当时,函数在区间上无意义,
所以,则.
(2)
,要使函数有意义,则,
即定义域为,其关于原点对称.
,
该幂函数为奇函数.
当时,根据幂函数的性质可知在上为减函数,
函数是奇函数,在上也为减函数,
故其单调减区间为,.
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