高中数学人教A版（2019）必修第一册3.4函数的应用（一）（基础篇）（有解析 ）

一、单选题
1．某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是， ，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　　）
A．3台 B．5台 C．6台 D．10台
2．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（ ）
A． B． C． D．
4．规定从甲地到乙地通话 min的电话费由(元)决定，其中>0，[]是大于或等于的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为( )元
A．4.8 B．5.2 C．5.6 D．6
5．已知是函数的零点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：
（1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；
（2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；
（3）如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；
（4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠.
某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ）
A．如果购物时一次性全部付款99元，则购物总额为104元
B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元
C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元
D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最大值为1；
B．函数的最小值为0
C．函数的图象与直线有无数个交点
D．函数是增函数
三、填空题
9．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14％纳税；超过4000元的按全稿酬的11％纳税.某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为______元.
10．已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是_________．
11．为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过千瓦时但不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时.若某户居民月份交纳的电费为元，则此户居民月份的用电量为___________千瓦时.
12．已知函数对于任意实数满足条件，若，则________.
四、解答题
13．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表所示：
x/元 130 150 165
y/件 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
14．如图，在等腰梯形ABCD中，，且．已知为定值l，腰CD与直线BC夹角为60°，已知等腰梯形的面积为S．高为h，求S关于h的函数解析式．
15．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
16．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步．华为在年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润销售额成本）；
(2)年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
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参考答案：
1．A
【分析】依题意利用 解出x的值，再结合x的取值范围，即得结果．
【详解】解：依题意， ，即，
解得或 （舍去），∵，∴.
∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）．
故选：A．
2．D
【解析】列出利润的表达式再求解的解即可.
【详解】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
故选：D
【点睛】本题主要考查了实际应用中的利润问题,属于基础题.
3．A
【分析】先写出用水量与电费发函数关系，再解方程.
【详解】设该职工用水时，缴纳的水费为元，由题意得，
则，解得.
答：该职工这个月实际用水为.
故选：A
【点睛】解应用题关键是找出变量之间的关系，列方程求解未知量.
4．C
【分析】计算，代入函数，计算即得结果.
【详解】由，得.
故选：C.
5．B
【分析】由零点的定义可以将该函数的零点看成是两个函数和的图象交点的问题进行解决.
【详解】由于函数在时为增函数，所以是该函数唯一的零点，
当，即，于是该方程的解，即为原函数的零点，由函数和的图象知，它们交点的横坐标即为，且，又因为且，所以，即，于是，综上知.
故选：B
6．C
【解析】根据条件需满足，，对称轴即可求出m的取值范围.
【详解】关于x的一元二次方程的两根均大于2，
则,
解得.
故选：C.
【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布，属于基础题.
7．BD
【分析】设购物总额为元，应付款元，根据题意求出的解析式，再根据解析式对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】设购物总额为元，应付款元，
则，
即，
对于A，若元，则只能是，解得元，即购物总额为元，故A不正确；
对于B，当元时，元，即应付款为205.2元，故B正确；
对于C，当元时，元，即应付款为元，故C不正确；
对于D，若元，则只能是，解得元，即购物总额为元，故D正确.
故选：BD
8．BC
【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，
对于A：函数，故A错误；
对于B：函数的最小值为0，故B正确；
对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确；
对于D：函数不是上的增函数，故D错误；
故选：BC
9．3800
【详解】若稿费为4000元，则纳税元，设此人的稿费为元，则纳税元.
解本小题的关键是读懂题意，建立正确的数学模型．注意先确定420元的稿费在哪个收入段中．
10．
【解析】由分段函数的单调性结合指数函数的单调性可得，即可得解.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
11．
【解析】根据题意，写出电费与用电量的函数关系式，根据函数值即可求解.
【详解】设用电量为千瓦时，电费元，
，
若时。
当时，则，解得，不满足题意；
当时，则，
解得，不满足题意；
当时，则，解得，满足题意.
故答案为：
12．
【分析】由条件“”推出函数的周期即可
【详解】因为，
所以
即函数的周期是4，所以
又因为，所以
故答案为：
【点睛】1. 若，则
2. 若，则
3.若，则
13．每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．
【分析】先由题意设，根据题中数据求出，进而表示出每天所得利润，结合的范围，即可求出结果.
【详解】设，则∴
∴
当每件的销售价为x元时，每件的销售利润为元，每天的销售利润为S.则.
∴当时，元．
答：每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
14．，
【分析】分别用表示出, ,利用，即可得到答案.
【详解】由题意画图如下：
过点C做AD的垂线交AD于E,在中所以因为，
所以，，所以，.
故答案为：，.
15．(1)
(2)，最小面积为48平方米
【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围.
（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.
（1）
解：设的长为米（）
是矩形
由，得
，解得或
即的取值范围为
（2）
令，（），则
当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米
16．(1)；
(2)年产量为（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为万元.
【分析】（1）根据利润销售额成本可得到函数关系式；
（2）分别在和两种情况下，利用二次函数最值和基本不等式求最值的方法确定两种情况下的最大值，通过比较可得最终结论.
（1）
由题意知：每生产（千部）手机，投入的成本，
，
即；
（2）
①当时，，
当时，；
②当时，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：年产量为（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为万元.
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