高中数学人教A版（2019）必修第一册4.2指数函数（能力篇）（有解析 ）

一、单选题
1．已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
3．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）
A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)
4．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
5．函数在的图像大致为
A． B． C． D．
6．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
二、多选题
7．已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．是增函数
C．不是周期函数 D．的最小值为
8．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．，则实数a的取值范围是
B．恒成立，则实数a的取值范围是
C．
D．，则实数a的取值范围是
三、填空题
9．已知函数，设，若，则的取值范围是__________．
10．已知函数，若，则________．
11．已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围是______．
12．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.
四、解答题
13．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数，的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
14．设函数，其中．
（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3），，解关于x的不等式．
15．已知函数.
(1)判断并说明的奇偶性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设，正实数满足，且的取值范围为A，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数的取值范围.
16．若函数
（1）求的最小值及取最小值时所对应的值；
（2）若对于任意使恒成立，求实数的范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
2．A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及指数对数运算.
3．C
【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．
【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
4．D
【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
5．B
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
6．D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
7．AD
【分析】根据奇偶性、单调性、周期性分别判断ABC，分类讨论确定函数的最小值判断D．
【详解】选项A，由得，函数定义域是，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，正确；
选项B，定义域是，，即是奇函数，易知是R上的增函数，函数值域为R，，所以存在，值得，从而，于是，，但，所以不是增函数，B错；
选项C，定义域是R，，因此是函数的一个周期，C错；
选项D，由上推理知是奇函数，时， ，
时，，易知函数为增函数，所以，综上函数最小值是1，D正确．
故选：AD．
8．BD
【分析】求出在的值域可判断A B；
求出在的值域，，转化为的值域是值域的子集，可判断C；由在的值域可判断D.
【详解】因为，所以时，，
若，则，故A错误；
若恒成立，则实数a的取值范围是，故B正确；
因为在上单调递增，所以在单调递减，
所以，
，所以的值域是值域的子集，
而的值域是，的值域是，故C错误；
因为在的值域是，所以实数a的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
9．
【分析】画出的图象，数形结合求得的范围，将转化为关于的函数，再求函数的值域即可.
【详解】画出函数图象如图所示，
由图象可知要使，
同时成立，
则.
，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：考查指数函数图象的应用，解题的关键是借助函数图象求得参数范围，将式子转化为二次函数的形式.
10．-7
【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
11．
【分析】先根据题意得，进而得，再由时，，时，，得，解得，由，得，即可得解．
【详解】由题意知的最小值在上取得，所以，即，
故时，单调递减，此时．
当时，，
所以，解得．
因为，即，即，整理得，故，解得．
综上，．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：求解分段函数与方程、不等式相交汇的问题，关键是依据自变量的范围或参数的范围分类讨论，根据讨论对象的不同（是对自变量进行的分类讨论还是对参数进行的分类讨论）确定是取并集还是取交集．
12．
【解析】利用函数的单调性分别求得函数在区间、，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】当时，；
当时，此时函数单调递增，此时.
由于函数在区间上的值域为，所以.
，
令，则函数在上单调递增，且，
所以，不等式的解为.
解不等式组得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13．（1），；（2）．
【分析】（1）根据函数的奇偶性构造方程组可解得结果；
（2）代入解析式，换元后化为对恒成立，利用基本不等式求出的最小值可得解.
【详解】（1），用代替得，
则，
解方程组得：，．
（2）由题意可得对任意恒成立，
令，，因为在单调递增，故
则对恒成立
因为，当且仅当时，等号成立.
故，即实数的最大值为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则.
14．（1）；（2）；（3）答案见解析.
【分析】（1）先由求得的值，再根据偶函数的定义验证，得到答案；
（2）换元法令，则转化成在上有最小值，再由的对称轴大于0，得到的取值范围；
（3）由化简得到，再分类讨论的范围，得到不等式的解集.
【详解】解：（1），所以，
所以，检验，此时，，
所以，为偶函数；
（2），令，
则在上有最小值，
所以，得；
（3），所以，所以，
因为，，所以．
①，即，解集为R；
②，即，解集为．
【点睛】本题考查了奇偶性的应用，指数不等式的解法，指数与对数的综合应用，考查了学生的分析推理能力，分类讨论思想，属于中档题.
15．(1)当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义直接验证；
（2）利用分离参数法求出a的范围；
（3）先利用基本不等式求出集合A，根据对勾函数的单调性，对a进行讨论，分别求出实数的取值范围.
(1)
因为函数的定义域关于原点对称，
由，，及实数的任意性，
可知，当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数.
(2)
∵，
∴令，当，则
即存在使成立，只需
∵∴.
(3)
∵∴，
则，当且仅当取等号，
∴，
∵，∴在单调递减，在单调递增，
∴，
①当，即时，在单调递增，
∴即得，∴，
②当，即时，在单调递减，
∴即得，∴，
③当时，，，
由.
（ⅰ）当时，，，
得，
（ⅱ）当时，∴，则，
得.
综上，.
【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
16．（1）的最小值为，此时；（2）.
【分析】（1）令，求出的最小值即为的最小值，进而可求出取最小值时所对应的值；
（2）由于对于任意使恒成立，等价于时，，
求出在的最大值即可.
【详解】（1）令，且，即，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，，此时，即，所以的最小值为，此时；
（2）对于任意使恒成立，即时，，
令，且，即，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，，此时，即，所以，故实数的范围为.
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