高中数学人教A版（2019）必修第一册4.3对数（基础篇）（有解析 ）

一、单选题
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
2．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．2
3．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．声强级（单位：）与声强的函数关系式为：.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
5．已知函，且，则（ ）
A． B． C．11 D．13
6．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20% B．23% C．28% D．50%
二、多选题
7．（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则．
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．函数中最小值为
C．若，则
D．若，则
三、填空题
9．已知是奇函数，且当时，．若，则______．
10．已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．
11．已知，，则（用p，q表示）等于_____________
12．若，，则_______．
四、解答题
13．已知，是方程的两个不等实根，且，求实数的值．
14．设a、b、c是直角三角形的三边长，其中c为斜边长，且．求证：．
15．（1）计算：；
（2）设，求的值．
16．（1）用表示；
（2）计算：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误．
【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
2．A
【分析】运用对数运算性质及换底公式即可获解.
【详解】，，
，
，，
，
故选：A
3．A
【分析】利用对数与指数的互化，指数的运算性质可求得结果.
【详解】因为，则，所以，，故.
故选：A.
4．B
【分析】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，由声强级得，，求出相除可得答案.
【详解】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，
因为普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，
所以，，
，解得，所以，
，解得，所以，
两式相除得，
则普通列车的声强是高速列车声强的倍.
故选：B.
5．C
【分析】令，则，则先判断函数，进而可得，即，结合已知条件即可求的值.
【详解】令，则，
因为
，
所以，
则，又因为，则，
故选：C.
6．B
【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.
【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了
.
故选：B.
7．AB
【分析】应用对数运算及指对数关系判断各选项的正误.
【详解】，A正确；
，B正确；
由，得，C错误；
由，得，D错误．
故选：AB
8．AC
【分析】根据不等式的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，D，根据基本不等式判断C.
【详解】由可得，所以，A对，
当时，函数的函数值为-10，故B错，
当时，，所以，C正确，
取，则，D错，
故选：AC.
9．1
【分析】根据题意，利用奇函数的性质可知时，代入中可求出的值.
【详解】解：因为是奇函数，，
所以，
因为当时，，
所以，所以，解得：.
故答案为：1.
10．##
【分析】根据函数的周期性，结合已知函数解析式，代值计算即可.
【详解】因为，则，故可得，
故的一个周期为，则，
对，令，故可得.
即.
故答案为：.
11．
【分析】先用换底公式把化为以3为底的对数，然后把也化为以3为底的对数即可.
【详解】，
，
则.
故答案为：
【点睛】对数运算技巧：
(1)应用常用对数值；
(2)灵活应用对数的运算性质；
(3) 逆用法则、公式；
(4) 应用换底公式，化为同底结构．
12．
【分析】先由，求出，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
所以
故答案为：
13．16
【分析】根据韦达定理，可得，根据对数的运算性质可得，代入数据，即可得答案.
【详解】已知，是方程的两个不等实根，
则，且．
所以，则，即．
所以实数m的值为16.
14．证明见解析
【分析】根据对数运算法则和换底公式证明．
【详解】证明：由勾股定理，得．
．
所以原等式成立．
15．（1）4；（2）2．
【分析】（1）根据指数的运算性质直接计算即可；
（2）通过换底公式可得，，进而可得解.
【详解】（1）原式．
（2）∵，
∴．同理可得，，
则，，
∴．
∴．
16．（1）；；（2）.
【分析】（1）根据对数的运算性质计算可得；
（2）根据对数的运算性质计算可得；
【详解】解：（1）
（2）
答案第1页，共2页
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