高中数学人教A版（2019）必修第一册4.2指数函数（拓展篇）（有解析 ）

一、单选题
1．若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数为R上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当(0，3)时，，则函数在区间上的（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为0 D．最大值为
3．已知直线与函数图象交于不同三点M，N，P，且，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，当时，不等式成立，则的最小值为
A． B． C． D．
5．已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数f(x)满足：当时，，下列命题正确的是（ ）
A．若f(x)是偶函数，则当时，
B．若，则在上有3个零点
C．若f(x)是奇函数，则
D．若，方程在上有6个不同的根，则k的范围为
8．已知曲线，则（ ）
A．曲线C关于直线对称 B．曲线C关于点对称
C．曲线C不经过第三象限 D．曲线C上的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数是2
三、填空题
9．设函数f（x），已知对任意的a∈[1，3]，若（k∈R且k＞0），恒有f（x1）≥f（x2），则k的最小值是_____．
10．定义：如果函数在区间上存在，满足，则称是函数在区间上的一个均值点，已知函数在区间上存在均值点，则实数的取值范围是______.
11．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________
12．已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题
13．若函数满足：对任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”．
(1)判断函数与是否是“函数”；
(2)若函数为“函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有．
14．已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围.
15．（1）是以为定义域的减函数，且对于任意，恒有，写出一个满足条件的函数的解析式；
（2）是以为定义域的奇函数，且对于任意，恒有，写出一个满足条件的函数的解析式；
（3）都是以为定义域的函数，写出一组满足下列条件的函数的解析式，对于下列三组条件，只需选做一组，满分分别是①，②，③；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.
①对于任意，恒有；
②对于任意，恒有；
③对于任意，恒有.
16．定义在D上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．已知函数（）．
(1)若是奇函数，判断函数（）是否为有界函数，并说明理由；
(2)若函数在上是以为上界的函数，求实数m的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式.
【详解】∵是奇函数，，即，
整理可得， ，，，
，，
，解可得.
所以不等式的解集为
故选：D.
2．A
【解析】先利用奇函数的定义和对称性求出函数的周期，结合时，，可知时，，知函数在区间上单调递减，函数取得最小值，即可求解.
【详解】函数的图像关于点对称，.
又函数为奇函数，，函数是的周期函数，
，，
由周期性可知，函数在区间上的图像与在区间上的图像一样，
又当时，，由指数函数性质知在区间上单调递减，
又函数为R上的奇函数，故当时，，故在上单调递减，且，
所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减，函数取得最小值.
故函数在区间上的最小值为
故选：A.
【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：
（1）若，则函数的；
（2）若，则函数的；
（3）若，则函数的；
（4）函数关于直线与对称，那么函数的 ；
（5）若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的；
（6）若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的
3．D
【分析】根据函数为奇函数，且在上为增函数，可知函数关于点对称，且在上为增函数，于是M，N关于P对称，设，即可列式，解出，即可根据斜率公式求出．
【详解】因为函数为奇函数，且在上为增函数，所以函数关于点对称，且在上为增函数， 设点P的坐标为，且M，N关于P对称，设，，解得或4，不妨设，所以，所以实数k的值为．
故选：D．
4．A
【分析】由及的奇偶性求得，进而可把表示出来，分离出参数后，求函数的最值，问题即可解决.
【详解】由，
即，得，
又分别为偶函数、奇函数，
所以，联立两个式子，
可以解得，
，即，
∴，
函数，在时单调递增，当时，最大值为。
因为存在实数，当时，不等式成立，
所以，
所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关恒成立问题对应的参数的取值范围问题，涉及到的知识点有奇偶函数的定义、函数解析式的求解、分离参数，恒成立问题向最值靠拢，利用函数的单调性得到最值，从而求得结果.
5．C
【分析】先根据在处取得最小值，得，且，再由当时，结合得，解得，最后结合得，即可得到结果．
【详解】由函数在处取得最小值得，则且
当时，又，
所以，得．
又，所以，
即，整理得，，解得．
综上，.
故选：C．
【点睛】关键点睛：求解分段函数与方程、不等式问题的交汇问题，关键是依据自变量的不同范围或参数的不同范围分类讨论求解，最后还要根据讨论对象的不同（是对自变量进行的分类讨论还是对参数进行的分类讨论）来确定最终结果．
6．C
【分析】设，可得，设，由对任意的求得，进而可求得函数在区间的值域，由题意可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】令，，则，
令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当时，，则，
，则，，
构造函数，其中，由，可得，
由于函数在区间上单调递减，则，可得.
二次函数的对称轴为直线，
则函数在区间上单调递增，
当时，，即.
由于以、、为长度的线段都可以围成三角形，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.
7．BC
【分析】解出当时的解析式可判断A；由在上的零点结合对称性可判断B；求得在上的值域，进而可判断C；作出函数在上的简图，由数形结合可判断D.
【详解】对于选项A：若是偶函数，当时，，故A错误；
对于选项B：令得，即，解得或. 由知函数图象关于直线对称，所以，故在上有3个零点. 故B正确；
对于选项C：当时，，所以时，；当时，，故当时，. 若是奇函数，则当时，，又，所以当时，. 故对，.故C正确；
对于选项D：即，所以或. 由知函数的周期为3，作出函数在上的简图，由图可知，有2个根，依题意得必有4个根，由图可知. 故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：判断选项D的关键点是：作出函数在上的简图，数形结合求得的取值范围.
8．AC
【分析】根据题意，先表示出曲线C的函数解析式，构造偶函数，再结合函数图像的平移与图像性质，一一判断即可.
【详解】由题意得，.
设函数，可知函数为偶函数.
将函数的图像向右平移3个单位，得，
即与曲线的函数解析式相同，故曲线C关于直线对称，因此选项A正确，选项B错误；
对于选项C，因为，且函数的图像不经过第三象限，故曲线C不经过第三象限，因此C正确；
对于选项D，要求曲线C上的整点个数，只需为整数即可，此时只有一种可能，故曲线C上的只有一个整点，也就是，因此D错.
故选：AC.
9．24．
【分析】由已知可得是偶函数，且在为增函数，要使恒成立，只需，，而，只需，结合范围，即可求解.
【详解】当x＞0，可得﹣x＜0，f（﹣x）＝2x+x2＝f（x），
同样可得x＜0时，f（﹣x）＝f（x），且f（0）＝1，
可得f（x）为偶函数，
画出f（x）的图象，可得f（x）在[0，+∞）递增，
由f（x1）≥f（x2），可得f（|x1|）≥f（|x2|），即有|x1|≥|x2|，
即x12﹣x22≥0，即（x1﹣x2）（x1+x2）≥0，
由（k∈R且k＞0，a＞0），
可得x1＜x2，即x1﹣x2＜0，可得x1+x2≤0恒成立，
可得aa0，即有k，
由任意的a∈[1，3]，可得k24，
则k的最小值为24．
故答案为:24.
【点睛】本题考查函数的性质、不等式恒成立问题，解题的关键要将函数值的大小关系等价转化为自变量的关系，属于较难题.
10．
【分析】函数在区间上存在均值点，关于x的方程在内有实数根。求出函数的值域，包含元素1即可。
【详解】∵函数在区间上存在均值点，
∴关于x的方程在内有实数根。
由，，
可得.
要使方程在内有实数根，则，
即。
故答案为：。
【点睛】本题考查了指数函数和二次函数复合函数的值域问题，将指数函数看成一个整体，通过换元法求得二次函数的值域即可。本题属于中等题。
11．
【分析】题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以；
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式无解；
综上所述：，
故答案为：.
12．
【解析】根据函数关系，原不等式等价于，转化为通过单调性解题.
【详解】由题设知，，则，
因此，原不等式等价于，
根据指数函数性质在上均为是增函数，
且，，
在上是增函数，∴，即，
又，∴当时，取得最小值，
因此，解得，
又，∴，
故.
故答案为：
【点睛】此题考查函数单调性的综合应用，涉及对函数解析式的处理，将函数值的大小关系转化为自变量取值关系，解决不等式求参数取值范围的问题，综合性比较强.
13．(1)是“函数”， 不是“函数”
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用“函数”的定义判断两个函数即可求解；
（2）由题意可得对任意恒成立，可得，由可得求出即可求解；
（3）根据定义，令可得，对于任意的正整数与正数都有，进而可得出结论.
(1)
对于函数，当，时，，，
又，
所以，故是“函数”．
对于函数，当时，，
故不是“函数”．
(2)
由是“函数”，可知，
即对任意恒成立，
当时，，可得对任意恒成立，所以，
当，时，由，可得，
故，
又，故，
由，即对任意正数，恒成立，
可得，即．
综上所述实数的取值范围是．
(3)
由函数为“函数”，可知对任意正数，，都有，，
且，
令，可得，即，
故对任意正整数与正数，都有，
对任意，可得，，
又因为，
所以，
同理，
所以．
14．（1）为奇函数；（2）
【分析】（1）先求出函数的定义域，进而根据奇偶函数的定义，判断即可；
（2）易知是定义域内的减函数，由，可知且，进而可将原问题转化为不等式在有解，求取值范围，由，令，可得在上有解，进而分离参数得在有解，求出的取值范围，进而可得到的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，解得，
∴的定义域为，其定义域关于原点对称，
又，
∴，
故为定义域内的奇函数.
（2）∵函数都是上的减函数，
∴是定义域内的减函数，
∵，且为定义在的奇函数，
∴且，
∴原问题等价于不等式在有解，求取值范围.
而，
令，，则，
令，可知，则，
构造函数，，
根据对数函数的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，
由，可得，所以，
所以在上有解，
注意到当时，，因此在有解.
取，则，，从而.
因此在上有解.
根据对勾函数的性质，可知函数在上单调递增，
所以，
所以，即.
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
15．（1）；（2）；（3）答案不唯一，具体见解析.
【解析】（1）根据题意，结合对数函数的运算性质和单调性，即可得出，，满足条件；
（2）根据题意，结合指数函数的运算性质和奇函数的性质，得出分段函数 满足条件；
（3）根据题目要求，结合复合函数的解析式的运算，即可写出满足条件的函数解析式.
【详解】解：（1）对于任意，恒有，
可知对数函数符合条件，即，
而是以为定义域的减函数，则，
所以满足条件的一个函数为：，；
（2）对于任意，恒有，
可知指数函数符合条件，即，
而是以为定义域的奇函数，
所以满足条件的一个函数为：；
（3）已知都是以为定义域的函数，
若选①对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，；
若选②对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，；
若选③对于任意，恒有，
则满足条件的一组函数的解析式为：
，，，.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据要求写出函数解析式，灵活运用对数函数和指数函数的性质是解题关键，属于中档题.
16．(1)函数（）为有界函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义知，再利用有界函数的定义即可判断.
（2）根据有界函数的定义知恒成立，利用参数分离法即可求解.
(1)
若是奇函数，则，则，
所以恒成立，
则是奇函数时，．
此时，
由知，则，于是，则，
故时，，
所以，函数（）为有界函数．
(2)
若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立．
则恒成立，即恒成立，
所以 即
即不等式组在上恒成立．
因为在上单调递减，其最大值为；
又在上也单调递减，其最小值为
所以 即，
故实数m的取值范围是．
答案第1页，共2页
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