高中数学人教A版（2019）必修第一册4.3对数（能力篇）（有解析 ）

一、单选题
1．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为已知，则下列各数中与最接近的是（ ）
A． B． C． D．
2．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）附：
A．10% B．20% C．50% D．100%
3．李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取）
A．31 B．32 C．33 D．34
4．已知函数满足对任意实数，都有，若，则（ ）
A．2017 B．2018 C． D．
5．若函数，设，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义域为R的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题
7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级
B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为，地震释放的能量为，则
8．设和分别表示一容器中甲、乙两种细菌的个数，且甲、乙两种细菌的个数乘积为定值.为了方便研究，科学家用分别来记录甲、乙两种细菌的信息，其中 .以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若今天的值比昨天的增加1，则今天的甲细菌比昨天的甲细菌增加了10个.
D．已知，假设科学家将乙菌的个数控制为5万，则此时
三、填空题
9．已知，，则______．
10．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．
11．若，则____________．
12．已知函数为偶函数，则__________.
四、解答题
13．令，.
(1)分别求P和Q；
(2)若，且，求m.
14．已知，试比较x，y，z的大小．
15．（1）求值：；
（2）若，求的值．
16．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）
（2）已知，试用表示.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据对数的性质：，可得，再进行运算即可求解.
【详解】因为，而，
所以，
所以，
从而，
即，
所以，
即，
所以与最接近的是.
故选：D
2．B
【分析】根据题意，计算出的值即可；
【详解】当时，，当时，，
因为
所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，
故选：B.
【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.
3．D
【分析】经过天后，用户人数，根据题意可求得，由小程序发布经过10天后有2000名用户，可得，当用户达到50000名时有，根据对数运算，即可求得答案.
【详解】经过天后，用户人数
又小程序在发布时已有500名初始用户
又小程序发布经过10天后有2000名用户
即，可得
……①
当用户达到50000名时有
即，可得
……②
联立①和②可得，即
故
用户超过50000名至少经过的天数为34天
故选：D.
4．C
【分析】根据函数的性质及对数的运算求解即可.
【详解】由，
当时，，即，
所以，
即，
解得，
故选：C
5．A
【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，比较三者之间的大小关系，带入函数求解.
【详解】由题可知，故，
∴函数为偶函数；
易知，当时，在为单调递增函数；
又，∴，
同理，；
又，
，
故，故.
故选：A.
6．A
【分析】由奇偶性及得到周期性，再根据周期性化简可代入求解.
【详解】由题意，有，而又有，所以有，
即，从而可得，因此函数的周期为，
所以.
故选：A
7．ACD
【分析】根据已知条件及对数运算性质即可求解.
【详解】对于A，当时，由题意得，解得，即地震里氏震级为七级．故A正确；
对于B, 八级地震即时，由，解得，所以．故B不正确；
对于C，六级地震即时，由，解得，所以，即八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍．故C正确；
对于D，由题意得，则．故D正确.
故选：ACD.
8．AD
【分析】根据已知可得，两边取对数，可判断选项A；当时，，可判断选项B；取和，可判断选项C；根据乙菌的个数求出甲菌个数，可判断选项D.
【详解】因为甲、乙两种细菌的个数乘积为定值，所以，
所以，即，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
若，则，若，则，此时增加了个，故C错误；
若，则，
所以，故D正确.
故选：AD
9．
【分析】由，可得，从而可得，进而解得，从而得解.
【详解】由，可得，
所以，代入中，可得：，解得或2.
所以或.
当时，；
当时，；
综上：.
故答案为4.
【点睛】本题主要考查了对数的运算，属于中档题.
10．6
【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．
【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．
则：，
整理得：=1，
解得：2p+q=a2pq，
由于：2p+q=36pq，
所以：a2=36，
由于a＞0，
故：a=6．
故答案为6
【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
11．
【分析】利用换底公式，对数与指数的互化求解.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，即，
所以.
故答案为：
12．1
【分析】由函数为偶函数可得，化简整理得，从而可求出的值
【详解】由偶函数的定义得，
所以，即，
所以，即，
整理得，
此等式在函数的定义域内恒成立，所以，即.
故答案为：1
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可；
（2）根据指数与对数的互化可得，结合对数的运算性质和换底公式即可得出答案.
（1）
解：
，
，
所以；
（2）
由，得，且，
则，
故，
所以.
14．．
【分析】对于形如的方程，由外向内逐层求解，即逐步脱去对数符号，从而建立关于的方程，求出的值，即可得到、、，再根据幂函数的性质判断可得；
【详解】解：由，
得，，即；
同理，．
∵，，
∴．
又，，
∴，∴．
15．（1）；（2）2.
【分析】（1）由指数幂的运算性质与对数的运算性质求解即可；
（2）由指数与对数的互化和对数的运算性质求解即可
【详解】解：（1）原式；
（2），则，
∴，
∴．
16．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.
（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
【详解】（1）设，写成指数式.
两边取以为底的对数，得.
因为，，，因此上式两边可除以，得.
所以，.
（2）.
【点睛】本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.
答案第1页，共2页
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