高中数学人教A版（2019）必修第一册4.3对数（拓展篇）（有解析 ）

一、单选题
1．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）
(参考数据: lg2≈0.3010 )
A．9 B．10 C．11 D．12
4．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0．则
A．
B．f（0.76）＜f（60.5）＜f（log0.76）
C．
D．
5．已知是定义在上的单调函数，是上的单调减函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
二、多选题
7．对定义在上并且同时满足以下两个条件的函数称为函数：①对恒有；②当，，时，总有成立，则下列函数是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知，则的最大值是____．
10．若x，y，z满足；①；②；③；④．上述关系中可能成立的序号是________（把符合要求的序号都填上）．
11．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
12．给出下列命题“
①设表示不超过的最大整数，则；
②定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”，已知且为的“闭集”，则这样的集合共有7个；
③已知函数为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上有最小值.其中正确的命题序号是_________.
四、解答题
13．已知，（且）．
(1)求的值；
(2)若，解关于x的不等式：（其中）．
14．设函数，.
（1）若，且，求实数的值；
（2）若，记函数在上的最大值为，最小值为，求时的取值范围.
15．已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）已知函数，，若的最小值为0，求的值 .
16．已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】令，由则，将对数式转化为指数式，统一其指数为常数，比较其底数的大小关系，结合幂函数的性质解答．
【详解】解：设，则，，，，，．
因为，且函数在上是减函数，
所以．
故选
【点睛】本题考查指对数的运算及幂函数的性质．属于中档题．
2．B
【解析】，，然后运用对数的运算性质分别判断出和的符号即可.
【详解】由对数的性质得：，
所以
因为
所以，即
因为
所以，即
综上：
故选：B
【点睛】作差法是比较大小的常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质.
3．B
【解析】,设,两边取常用对数估算的位数即可.
【详解】,设，则两边取常用对数得
.
，
故的位数是10，
故选：B．
【点睛】解决对数运算问题的常用方法：
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的简化计算.
4．D
【详解】试题分析：先由奇偶性将问题转化到[0，+∞），再由函数在区间上的单调性比较．
解：∵任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，
又∵0.76＜60.5＜|log0.76|
∴，
故选D
考点：奇偶性与单调性的综合．
5．B
【解析】是定义在上的单调函数可推知，表示出，再作商法，运用换底公式变形，比较出的大小即可求解.
【详解】由已知得，则，所以，，，
所以，则，，则，
所以．又因为是上的单调减函数，所以
故选：B．
【点睛】作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．
6．A
【分析】不妨假设，作出函数的图像，根据图像可得，，，，根据已知可得，进一步可得，，，再将所求式子化为，化简可得答案.
【详解】不妨假设，作出函数的图像如下：
由图可知，
所以，，，，
因为，且，
所以，
所以，，，
所以，，，
所以
.
故选：A
【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用等基础知识，考查了函数图像的作法，考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，数形结合思想，转化划归思想，属于较难题.
7．ABC
【分析】根据函数的定义对四个函数分别进行验证两个条件
【详解】解：对于A选项：显然满足①，
，满足②，
∴是函数，
对于B选项：根据指数函数的单调性得满足①；
，，，
，满足②，
∴是函数，
对于C选项：根据对数函数性质，满足①；
，
，
∵，，，∴，
∴，满足②，
∴是函数，
对于D选项：根据二次函数性质得函数满足①；
当，时，，，
∴不满足②，
∴不是函数，
故选：ABC.
【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，应用新定义，通过新定义转化为证明相应的不等式成立．
8．AB
【分析】化简，构造关于x的方程，考虑判别式大于等于零；再构造函数讨论零点和对称轴位置，判断a，b，c的大小关系.
【详解】由已知，，
即．
则关于x的方程有正实根，
所以．
因为，则，所以．
设，
则二次函数的关于直线对称，且，
．
若是的一个较小零点，则，即；
若是的一个较大零点，则，即.
故选：AB．
9．4
【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．
【详解】，，，则
．当且仅当时，函数取得最大值．
【点睛】本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值．
10．①②④
【分析】令，则，，，
从而，，，再分，，三种情况讨论可得；
【详解】解：因为，令，
则，，，
从而，，
当时，，，故④正确；
由于，，；
，，；
综上可得，
当时，，
，故②正确；
当时，，
，故①正确；
即正确的有①②④；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查指数与对数的互化，对数的运算及对数函数的性质的应用，属于中档题.
11．
【分析】先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.
【详解】，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于函数奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数.
12．①②
【详解】对于①，如果，则，也就是，所以，进一步计算可以得到该和为，故①正确；对于②，我们把分成四组：，由题设可知不是“闭集”中的元素，其余三组元素中的每组元素必定在“闭集”中同时出现或同时不出现，故所求的“闭集”的个数为，故②正确；对于③，因为在上的最大值为，故在上的最大值为，所以在上的最小值为，在上的最小值为，故③错．综上，填①②．
点睛：（1）根据可以得到，因此，这样的共有，它们的和为，依据这个规律可以写出和并计算该和．
（2）根据闭集的要求，中每组元素都是同时出现在闭集中或者同时不出现在闭集中，故可以根据子集的个数公式来计算．
（3）注意把非奇非偶函数转化为奇函数或偶函数来讨论．
13．(1)
(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解；
（2）利用对数的运算可得，再分类讨论，，，和，解不等式即可得解.
(1)
由，，得，
(2)
，
，
不等式
（1）当时，不等式为：，解得，不等式的解集为；
（2）当时，方程的两个根为和
①当时，，二次函数开口向下，不等式的解集为；
②当时，，二次函数开口向上，不等式的解集为；
③当时，二次函数开口向上，不等式的解集为；
④当时，二次函数开口向上，不等式的解集为；
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
14．（1）；（2）.
【分析】（1）由解析式求出、，根据求的值；
（2）由题意，且对称轴为，结合其函数的性质，讨论与的位置关系确定最大、最小值求参数.
【详解】（1）由题意，，而，
∴由知：，可得.
（2）由题意，，开口向上且对称轴，
∵在上的最大值为，最小值为，
∴当，时，，则，得；
当，时，，则，得；
当，时，，则，得；
当，时，，则，无解；
∴综上，.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据函数解析式求对应的函数值，利用等式列方程求参数；
（2）利用二次函数对称轴与区间的位置关系，讨论函数的最值，结合已知条件求参数范围.
15．（1）k＝﹣ ；（2）
【解析】（1）由f（x）为偶函数，得f（﹣x）＝f（x），代入求得k的值即可；
（2）化简函数，换元，转化为，讨论二次项系数及对称轴得最小值，由此可求m的值．
【详解】（1）因为y＝f（x）为偶函数，所以 x∈R，f（﹣x）＝f（x），
即对于 x∈R恒成立．
即2kx＝恒成立
而x不恒为零，所以k＝﹣ ；
（2）函数=
令3x＝t ，为二次函数，对称轴为
若，恒成立不合题意
故，函数开口向下。
当即时，函数最小值为符合题意
当即时，函数最小值为不符合题意
综上
【点睛】本题重点考查函数奇偶性的应用，考查二次函数的值域，解题的关键是正确运用分类讨论，合理将问题进行等价转化，是中档题
16．(1)；(2) .
【分析】（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围．
【详解】(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，
得(3－4)(3－)＞k·，
令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，恒成立，
即，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为－3.所以k＜－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
【点睛】本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值．意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力．
答案第1页，共2页
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