高中数学人教A版（2019）必修第一册4.1指数（能力篇）（有解析 ）

一、单选题
1．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，求的值为
A．2 B．8 C．10 D．14
3．已知，则下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．定义在R上的奇函数和偶函数满足∶，下列结论不正确的是（ ）
A．，且 B．，总有
C．，总有 D．，使得
5．已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列运算（化简）中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．为定值 D．
三、填空题
9．已知函数的图像经过第二、三、四象限，，则的取值范围是_______．
10．若，则的立方根为_______.
11．若不等式(m2－m)2x－()x<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是____．
12．计算： _______.
四、解答题
13．（1）设a＞0，化简：；
（2）若x＋x＝，求的值．
14．（1）计算：；
（2）化简：.
15．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
16．已知函数
(1)计算；；的值；
(2)结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般性结论，并证明这个结论；
(3)求的值．
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参考答案：
1．A
【分析】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值.
【详解】由题设，，即，
又，且，
所以.
故选：A.
2．D
【解析】对原等式两边同时3次方，再利用有理数指数幂的运算性质即可得出．
【详解】解：，
两边同时3次方得：，
化简得：，
又，
，
故选：．
【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
3．B
【分析】由，，即可求得，从而判断A；
由，，即可求得，从而判断B；
由，可求得，再由，即可求得，从而判断C；
由，即可求得，从而判断D.
【详解】解：A选项：，
∴，
又，
∴，
∴，
故A错误；
B选项：，
∴，故B正确；
C选项：，，，
，
，故C错误；
D选项：，
故D错误，
故选：B.
4．D
【分析】先用代替中的，利用函数的奇偶性得到，再联立方程求出和的解析式，再逐一验证各选项.
【详解】用代替中的，
得：，
又因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
则，
联立，
得：，且，
对于A：因为，，
所以，即选项A正确；
对于B：
，即选项B正确；
对于C：又因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
则，
则，即选项C正确；
对于D：
因为
，
即选项D错误.
故选：D.
5．D
【分析】根据二次根式的运算求解.
【详解】设，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故选：D
6．A
【分析】根据实数指数幂的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意可知，故选A.
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算化简、求值问题，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．ABD
【分析】根据指数幂的运算法则逐一验证即可
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：ABD
8．ACD
【分析】可利用奇偶性定义求出两个解析式，A项根据奇偶性定义判断；B项可利用解析式求解；C项利用解析式计算可求解；D项分析f(x)正负情况，化简求解.
【详解】因为，所以，又是奇函数，是偶函数，所以，解得，.
对于A，，故为偶函数，A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，；
当时，，，所以，故D正确.
故选：ACD.
9．
【分析】利用函数的图像经过第二、三、四象限可得：，整理可得：，再利用指数函数的性质即可得解.
【详解】因为函数的图像经过第二、三、四象限，
所以，解得：
又
又，所以，所以
所以，
所以的取值范围是
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质及计算能力、分析能力，还考查了转化能力，属于中档题．
10．2
【分析】首先根据函数有意义可求出的值，把的值代入即可求出的值，从而可求出答案.
【详解】由，得，
所以，
所以，所以的立方根为.
故答案为：.
11．－2【分析】根据指数函数的性质，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题即可．
【详解】解：（m2﹣m）2x1对一切x∈（﹣∞，﹣1]恒成立等价为
（m2﹣m）2x1，
即（m2﹣m）（）2，
∵x∈（﹣∞，﹣1]，
∴
即（）26，
即（m2﹣m）＜6，
则m2﹣m﹣6＜0，
解得﹣2＜m＜3，
故答案为﹣2＜m＜3
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用指数函数的性质将参变分离是解决本题的关键．
12．
【分析】根据指对数的运算性质计算，，
【详解】原式
【点睛】本题考查利用指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题，属于基础题．
13．（1）；（2）.
【分析】（1）由幂的运算法则计算；
（2）由幂的运算法则计算（结合平方公式计算）．
【详解】解：（1）原式＝＝a.
（2）若x＋x＝，
则x＋x－1＝4，x2＋x－2＝14，
故＝＝.
14．（1）； (2)
【分析】（1）将所有幂式化为最简形式，再由指数幂运算法则计算即可
（2）利用指数幂的运算法则和立方差公式求解即可
【详解】（1）
（2）
.
15．（1）；（2）.
【解析】（1）根据指数幂运算法则将原式转化为即可求值；
（2）利用立方和公式化简因式分解再求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式
.
【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解.
16．(1)1；1；1；
(2)；证明见解析；
(3)
【分析】（1）利用函数解析式代入法去求解即可解决；
（2）结合（1）的结果，归纳出，利用函数解析式代入即可证明；
（3）利用（2）的结论及的值即可求得的值．
（1）
；
；
（2）
结合（1）的结果，归纳出，证明如下：
（3）
由（2）可知，则
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