【核心素养目标】2.1.1认识一元二次方程 教学设计

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2.1.1认识一元二次方程教学设计
课题 2.1.1认识一元二次方程 单元 2 学科 数学 年级 九
教材分析 方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，随着数学应用的广泛性，方程的工具作用显得更加重要。在前面学生已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程等等，已经初步地感受了方程的模型作用，并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验，解决了一些实际问题。但是，在现实生活中，有关方程的模型并不都是线性的，另一种方程——即一元二次方程，在生活中同样具有广泛的应用。
核心素养 通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程。学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景感受，一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性。将不同形式的一元二次方程统一为一般形式。学生从数学符号的角度体会、概括出数学模型的简洁和必要。针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念，学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确地说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程的一元二次方程的条件。
学习 目标 1.理解一元二次方程的概念，会判断一元二次方程. 2.会将一元二次方程化为它的一般形式,并能指出二次项系数、一次项系数、常数项. 3.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
重点 掌握一元二次方程的概念和一般形式.
难点 经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,根据实际问题列出一元二次方程.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.什么叫方程？我们学过的方程哪些？ 2.什么叫一元一次方程？ 思考回答 通过对这两个问题情境的回顾，加深学生对“元”和“次”的理解，为本节课的学习做铺垫。同时，便于与一元一次方程进行类比，从而得到一元二次方程的概念。
讲授新课 问题1：下幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.你能求出这个宽度吗？ 设所求的宽度为x m，那么地毯的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m， 根据题意，可得方程： (8-2x)(5-2x)=18 问题2：观察下面等式：102＋112＋122 ＝132＋142，你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：(x+1)，(x+2) ，(x+3)，(x+4). 根据题意，可得方程： x2 + (x＋1)2 + (x＋2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 由勾股定理得，滑动前梯子底端距墙6m，设底端滑动x m，那么滑动后底端距墙(x+6) m，根据题意，可得方程： (8-1)2 + (x＋6)2 =102 议一议： 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8-2x)(5-2x)=18，(8-1)2 + (x＋6)2 =102 ， x2 + (x＋1)2 + (x＋2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 思考：上述三个方程有什么共同特点？ 归纳：等号两边都是整式，只有一个未知数，未知数的最高次数是2，且都可以化成 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式. 你能根据上述三个方程的共同点，给这样的方程下个定义吗？ 一元二次方程的概念： 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 一般形式： 我们把 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 称为一元二次方程的一般形式. 二次项：ax2 ，一次项：bx；常数项：c 二次项系数：a ，一次项系数：b. 特殊形式 练一练： 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 认真分析，尝试列出方程 认真分析，尝试列出方程 认真分析，尝试列出方程 先动手整理，再举手说一说 组内交流讨论. 思考回答问题 熟悉一元二次方程的一般形式 引导学生，分析三个实例的等量关系，设出对应的未知数，列出方程，为归纳总结一元二次方程的概念做准备. 引导学生根据已有的方程知识和经验，将上述三个方程进行化简，并整理成一般形式；然后让学生对整理后的方程进行观察与思考，用自己的语言描述它们的共同特点；最后再组织全班学生进行交流. 通过对所列三个方程共性的分析，抽象出一元二次方程的概念. 明确一元二次方程的一般形式.
课堂练习 1.关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是(　　) A．a≠0 B．a＝1 C．a≠1 D．a为任意实数 2.如果方程(m－3)－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为(　　) A．±3 B．3 C．－3 D．以上都不对 3．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 4．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足_________时，它是一元一次方程；当m满足__________时，它是一元二次方程． 5．把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 6. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形 （2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？ 由学生自己独立思考完成，并找出做的好的同学谈谈自己的思路和见解。 这个环节是巩固本课知识点，通过设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？
板书 课题： 2.1.1认识一元二次方程 1.方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程，叫做一元二次方程． 2.判别一元二次方程的“两个方法”： (1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2. (2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx＋c＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情况无关．
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