陕西省西安市陕师附高2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

陕师附高2021-2022学年高二下学期期中考试
(理科数学)试题
注意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题卡上，满分分，时间分钟．
2．答卷前检查答题卡上条形码的信息是否正确．
3．答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示
的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．
4．只交答题卡，不交试题卷．
第 Ⅰ 卷（选择题 共48分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．某学校为了了解高一、高二、高三这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 ( )
抽签法 随机数法 分层抽样法 系统抽样法
2．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的( )
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
3．若，则“”是方程“”表示椭圆的( )
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
4．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的成绩，
其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为( )
5．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（ ）
6．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选三种，事件表示选出的三种中至少有两药，事件表示选出的三种中恰有一方，则( )
7．明代数学家程大位(年)，有感于当时筹算方法的不便，用
其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如右图所示的程序
框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，
若输出的的值为，则输入的的值为( )
8．设是等比数列，且，，
则( )
9．在区间与中各随机取个数，则两数之和大于的概率为( )
10．在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是( )
四边形是菱形 直线与所成的角的余弦值是
直线与平面所成角的正弦值是
平面与平面所成角的正弦值是
11．在中，内角的对边分别为，已知，的面积为，则( )
12．已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为( )
第 Ⅱ 卷（非选择题 共72分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）
13．若随机变量，则 ．
14．已知球面上三点，，球半径为，则球心到平面的距离是 ．
15．展开式中含项的系数为 ．
16．已知函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分) 有人收集了某年中某城市居民年收入与某种商品的销售额的相关数据：
(1)建立商品年销售额与居民年收入之间的回归方程；
(2)通过建立的商品年销售额与居民年收入之间的回归方程，估计居民年收入为亿元时，此商品的年销售额．
参考公式：．
参考数据：．
18．(本小题满分12分)我省将在年全面实施新新高考，取消文理科，实行“”，其中，“”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择其中一科；“”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：
年龄（岁） [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]
频数 5 15 10 10 5 5
了解 4 12 6 5 2 l
(1)把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年，请根据上表完成列联表，是否有的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关？
了解新高考 不了解新高考 总计
中青年
中老年
总计
(2)若从年龄在的被调查者中随机选取人进行调查，记选中的人中了解新高考的人数为，求的分布列以及．
附：．
19．(本小题满分12分) 已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．
20．(本小题满分12分) 已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
请考生在第21、22题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．
21．(本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程选讲．
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标．
22．(本小题满分10分)选修：不等式选讲．
已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若对任意，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
陕师附高2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（理）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
题号 13 14 15 16
答案
三、解答题（本大题共5小题，共56分）
17. 解：
(1)由于，且． 所以．
所以，商品年销售额与居民年收入之间的回归方程为．
(2)当时，根据回归方程估计商品的年销售额．
18. 解：
(1)列联表如图所示：
了解新高考 不了解新高考 总计
中青年 22 8 30
中老年 8 12 20
总计 30 20 50
．
所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联．
(2)年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0,1,2．
则；；．
0 1 2
所以的分布列为
．
19. 解：
(1)设，因为直线的斜率为，．
所以，. 又解得，
所以椭圆的方程为．
(2)设由题意可设直线的方程为，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以
点到直线的距离所以，
设，则，，
当且仅当，即，解得时取等号，满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
20. 解：
(1)时，，定义域为，
.
∴时：，时，，
∴的单调增区间为，单调减区间为.
(2)函数在上有两个极值点，.
由得，
当，时，，，，则，∴.
由，可得，，
，
令，则，
因为,，，又.
所以，即时单调递减，则，即
故实数的取值范围是.
21．解：
(1)的普通方程为，的直角坐标方程为.
(2)由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，
所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，
此时的直角坐标为.
22．解：
(1)时，，
所以，当时，不等式变为，解得；
当时，不等式变为，不等式无解；
当时，不等式变为， 解得．
所以原不等式的解集为．
(2)因为，
当且仅当时等号成立，所以．
由题意知，所以，或，
所以，或．所以的取值范围为．