陕西省西安市陕师附高2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

陕师附高2021-2022学年高二下学期期中考试
(文科数学)试题
注意事项：
1．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题卡上，满分分，时间分钟．
2．答卷前检查答题卡上条形码的信息是否正确．
3．答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示
的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．
4．只交答题卡，不交试题卷．
第 Ⅰ 卷（选择题 共48分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合，，则( )
2．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的( )
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
3．若，则“”是方程“”表示椭圆的( )
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
4．函数的图象大致是( )
5．已知曲线在点处的切线方程为，则( )
6．已知函数，则( )
7．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )
8．丹麦数学家琴生(Jensen)是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”．则下列函数在上是“凹函数”的是( )
9．在中，内角的对边分别为，已知，的面积为，则( )
10．已知函数，则的值为( )
11．已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为( )
12．是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为( )
第 Ⅱ 卷（非选择题 共72分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）
13．为了研究某种细菌在特定环境下，繁殖个数(千个)随天数(天)变化的繁殖规律，根据如下实验数据，计算得回归直线方程为，由此预测第天细菌繁殖个数为 千个．
天数(天)
繁殖个数(千个)
14．已知球面上三点，，球半径为，则球心到平面的距离是 ．
15．已知，且，则 ．
16．已知函数，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围 ．
三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的值．
18．(本小题满分12分)某公司有名员工，其中男性员工名，采用分层抽样的方法随机抽取名员工进行手机购买意向的调查，将计划在今年购买手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买手机的员工称为“观望者”．调查结果发现抽取的这名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有人．
(1)完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
属于“追光族” 属于“观望者” 合计
女性员工
男性员工
合计 100
(2)已知被抽取的这名员工中有名是人事部的员工，这名中有3名属于“追光族”．
现从这名中随机抽取名，求抽取到的名中恰有名属于“追光族”的概率．
附：．
19．(本小题满分12分)已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)对任意的，当时都有，求实数的取值范围．
20．(本小题满分12分)已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求的方程；
(2)设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．
请考生在第21、22题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．
21．(本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程选讲．
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．
22．(本小题满分10分)选修：不等式选讲．
已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若对任意，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
陕师附高2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（文）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
题号 13 14 15 16
答案
三、解答题（本大题共5小题，共56分）
17. 解：
(1)设等差数列的公差为．
由已知得，解得．
所以．
(2)由(1)可得．
所以
．
18. 解：
(1)由题，列联表如下：
属于“追光族” 属于“观望者” 合计
女性员工 20 40 60
男性员工 20 20 40
合计 40 60 100
∵．
∴没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.
(2)设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，，”，3名“观望者”分别为“，，” ．
则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“；；；；；；；；；；；；；；；；；；；”共20种．
其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“；；；；；；；；”共9种．
∴抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率．
19. 解：
(1)定义域为，．
当时，由解得，由解得．
即在上单调递增，在上单调递减．
(2)，即．
令，则可知函数在上单调递增．
所以在上恒成立．
即在上恒成立，只需，而函数在单调递增．
所以．
综上所述，实数的取值范围为.
20.解：
(1)设，因为直线的斜率为，．
所以，. 又解得，
所以椭圆的方程为．
(2)设由题意可设直线的方程为，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以
点到直线的距离所以，
设，则，，
当且仅当，即，解得时取等号，满足 -
所以的面积最大时直线的方程为：或.
21．解：
(1)的普通方程为，的直角坐标方程为.
(2)由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，
所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，
此时的直角坐标为.
22．解：
(1)时，，
所以，当时，不等式变为，解得；
当时，不等式变为，不等式无解；
当时，不等式变为， 解得．
所以原不等式的解集为．
(2)因为，
当且仅当时等号成立，所以．
由题意知，所以，或，
所以，或．所以的取值范围为．