6.2.1 向量基本定理 教案

6.2.1向量基本定理
一.教学目标
　　（一）知识和技能目标：
　　1、理解并掌握共线向量基本定理和平面向量基本定理.
　　2、准确理解定理中唯一性，并通过练习体验平面向量基本定理的应用.
　　（二）过程与方法目标：
　　1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法；
　　2、培养学生类比、归纳的数学思想；
　　3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣.
　　（三）重点、难点与疑点
　　教学重点：平面向量基本定理.
　　教学难点：平面向量基本定理的应用，
　　教学疑点： 共线，平面向量基本定理的证明
　　二.学情分析
　　本节课是学习共线向量定义了后，学生已经掌握了向量的基本概念，对向量已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障.
　　三.教学程序
　　（一）共线向量基本定理
　　问题1：前面我们已经看到，当存在实数，使得时，.那么，这个结论反过来是否成立呢？
　　【任务】
　　1. 通过动手实验完成课本第152页上面的例题，总结共线向量基本定理；
　　2.在老师的带领下思考定理中“唯一”指的是什么，并给出证明；
　　3.在老师的带领下思考“尝试与发现”.
　　共线向量基本定理
　　一般地，有如下共线向量基本定理：
　　如果且，则存在唯一的实数，使得.
　　注意问题：1.其中的“唯一”指的是，如果还有，则有.这是因为：由可知，如果，则与已知矛盾，所以，即.
　　2.可以看出，此时只有时才存在实数，使得，而且这样的可以是任意实数.
　　3.三点共线：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数，使得
　　（二）平面向量基本定理
　　问题2：共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，
　　则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？
　　【任务】
　　1. 通过思考完成第153页下面的“尝试与发现”，总结平面向量基本定理；
　　2. 师生共同思考定理如何给出证明
　　（三）疑点解析
　　平面向量基本定理存在性和唯一性的证明：
　　（1）存在性的证明
　　上述实数对可以用如下方式找到：如图6-2-4所示，将向量与的始点平移到一起，假设，将向量的始点也平移到点O，以OA，OB所在的直线为相邻的边，以OC为对角线作平行四边形ODCE.因为与不共线，所以且.
　　又因为，因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的，使得
　　同理，存在唯一的，使得.又由向量加法的平行四边形法则可知，从而.
　　（2）唯一性证明
　　平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用，表示时，表达式唯一，即如果，那么且.这是因为由可知，如果，则从而可知，共线，与已知矛盾，因此即.同理可得.
　　（四）例题讲解及课内巩固练习
　　
　　总结：例题2和例题5：用基底向量表示所求的向量
　　第一步：确定基底向量；
　　第二步：找所求向量的封闭向量；
　　第三步：封闭向量中不是基底向量的向量统统用基底向量表示；
　　第四步：合并，得出结论.
　　
　　（五）课堂小结
　　1.共线向量基本定理和平面向量基本定理的内容；
　　2.证明三点共线的方法.
　　（六）课后作业