4.7 数学建模活动：生长规律的描述 教案
文档属性
| 名称 | 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 253.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 11:49:47 | ||
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文档简介
4.7 数学建模活动：生长规律的描述教案
教学课时：
教学目标：
1、经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程，掌握建模方法以及论文写作方法，培养数学建模、数学运算等核心素养；
2、在数学建模过程中，选择适当的拟合函数，巩固函数概念以及对基本初等函数增长速度的比较与甄别，渗透待定系数法与方程思想。
教学重点：
数学建模的全过程。
教学难点：
选择适当的拟合函数与改进模型。
教学过程：
一、发现问题、提出问题
生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度。
卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高（长）的中位数如下表所示（0岁指刚出生时）：
年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
交流与讨论1：
①这个问题中涉及到两个量——年龄和身高，你能否用自己的语言描述这两个量之间的关系？
②这两个量之间的关系是不是函数关系？为什么？
③如果是函数关系，哪个是自变量？哪个是因变量？定义域和值域分别是什么？有什么性质？你能否写出一个函数解析式表示这个关系？
【设计意图】
从实际问题出发，引导学生发现问题、提出问题，从概念及表示方法上引导学生深入思考，为解决问题作一铺垫。
二、分析问题、建立模型
交流与讨论2：
①你认为怎样选择函数模型来刻画年龄和身高之间的变化关系？
我们可以先画出它的图像，从直观上看看像什么函数：
②我们学过一些什么函数？
预设答案：幂函数（包括一次函数、二次函数、反比例函数等）、指数函数、对数函数.还可能会答：分段函数。
③你觉得这个图像最像什么函数的图像？你能大概写出它的解析式吗？
预设答案：幂函数、对数函数。教学中，结合函数图像变换，进一步引导学生写出函数解析式的待定形式：， 。还可引导学生思考：指数函数 与这两个模型相比呢？
【设计意图】
从列表法到图像法表示函数，再到解析法表示函数，进一步巩固用函数刻画生长变化规律基本思路——用解析式来拟合数据与图像，这是一个逆过程，需要直观选择、模型对比、调整改进.为后面运算求解模型、改进模型埋下伏笔。
三、确定参数，计算求解
交流与讨论3：
①如果选择，你怎么确定指数m/n？怎么确定a和b？如果选择，你怎么确定底数a和系数b？
②请大家选择一个函数模型，各自选择适当的数据求出函数解析式。
③分别针对同一个函数模型的求解结果进行交流、对比，借助图像，凭直觉初步感知同一模型不同结果的优劣，以及不同模型刻画数据的优劣。
【设计意图】
通过选择不同的函数模型，以及选择同一函数模型而选择不同的数据求出待定系数，让学生体会拟合过程需要改进的必要性。
四、验证结果、改进模型
因为我们在求函数解析式时，都只用到了部分已有数据，而其它数据一般不可能与所求出的解析式完全吻合，所以我们需要验证所建立的函数模型的优劣。
交流与讨论4：
①你认为怎么验证函数模型？（从上述两类函数模型中，选择大家认为拟合较好的两个函数f1(x)和f1(x)，列表、画图像，验证函数模型。）
预设答案：一是从已有数据中找出没有使用的数据代入函数解析式，看误差有多大，或者直接列成下表，将函数值与原有数据一一比对；二是在原来的图像中再画出所求函数的图像，看两个图像的偏差有多大。
年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
f1(x)
f2(x)
年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
f1(x)
f2(x)
②你认为应该从哪些方面改进函数模型？
预设答案：一是改进所选函数类型，二是改进函数中的参数。具体改进方法最好是结合函数图像的直观，结合数学运算，不断进行调整。如果利用计算机辅助改进效果最佳。
【设计意图】
通过计算和图像比对看误差与偏差，验证函数模型的优劣，让学生体会到建立函数模型过程只有更好，没有最好。改进函数模型也往往需要将直观与计算结合起来，因为仅凭感觉调整一个系数可能会影响原本拟合较好的数据。
五、课堂小结
1. 你认为怎样选择函数拟合数据误差更小？
2. 数学建模的主要步骤有哪些？如何撰写数学建模论文？
六、布置作业
农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，得到了以下数据：
生长阶段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
植株高度/cm 0.67 1.75 3.69 7.73 16.55 32.55 53.38 97.46 153.6 174.9 180.79
请建立适当的函数模型刻画该地区玉米的生长规律，并将研究过程写成一篇论文。
（参考函数模型：指数函数模型，逻辑斯谛模型，分段函数模型等。）
教学课时：
教学目标：
1、经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程，掌握建模方法以及论文写作方法，培养数学建模、数学运算等核心素养；
2、在数学建模过程中，选择适当的拟合函数，巩固函数概念以及对基本初等函数增长速度的比较与甄别，渗透待定系数法与方程思想。
教学重点：
数学建模的全过程。
教学难点：
选择适当的拟合函数与改进模型。
教学过程：
一、发现问题、提出问题
生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度。
卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高（长）的中位数如下表所示（0岁指刚出生时）：
年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
交流与讨论1：
①这个问题中涉及到两个量——年龄和身高，你能否用自己的语言描述这两个量之间的关系？
②这两个量之间的关系是不是函数关系？为什么？
③如果是函数关系，哪个是自变量？哪个是因变量？定义域和值域分别是什么？有什么性质？你能否写出一个函数解析式表示这个关系？
【设计意图】
从实际问题出发，引导学生发现问题、提出问题，从概念及表示方法上引导学生深入思考，为解决问题作一铺垫。
二、分析问题、建立模型
交流与讨论2：
①你认为怎样选择函数模型来刻画年龄和身高之间的变化关系？
我们可以先画出它的图像，从直观上看看像什么函数：
②我们学过一些什么函数？
预设答案：幂函数（包括一次函数、二次函数、反比例函数等）、指数函数、对数函数.还可能会答：分段函数。
③你觉得这个图像最像什么函数的图像？你能大概写出它的解析式吗？
预设答案：幂函数、对数函数。教学中，结合函数图像变换，进一步引导学生写出函数解析式的待定形式：， 。还可引导学生思考：指数函数 与这两个模型相比呢？
【设计意图】
从列表法到图像法表示函数，再到解析法表示函数，进一步巩固用函数刻画生长变化规律基本思路——用解析式来拟合数据与图像，这是一个逆过程，需要直观选择、模型对比、调整改进.为后面运算求解模型、改进模型埋下伏笔。
三、确定参数，计算求解
交流与讨论3：
①如果选择，你怎么确定指数m/n？怎么确定a和b？如果选择，你怎么确定底数a和系数b？
②请大家选择一个函数模型，各自选择适当的数据求出函数解析式。
③分别针对同一个函数模型的求解结果进行交流、对比，借助图像，凭直觉初步感知同一模型不同结果的优劣，以及不同模型刻画数据的优劣。
【设计意图】
通过选择不同的函数模型，以及选择同一函数模型而选择不同的数据求出待定系数，让学生体会拟合过程需要改进的必要性。
四、验证结果、改进模型
因为我们在求函数解析式时，都只用到了部分已有数据，而其它数据一般不可能与所求出的解析式完全吻合，所以我们需要验证所建立的函数模型的优劣。
交流与讨论4：
①你认为怎么验证函数模型？（从上述两类函数模型中，选择大家认为拟合较好的两个函数f1(x)和f1(x)，列表、画图像，验证函数模型。）
预设答案：一是从已有数据中找出没有使用的数据代入函数解析式，看误差有多大，或者直接列成下表，将函数值与原有数据一一比对；二是在原来的图像中再画出所求函数的图像，看两个图像的偏差有多大。
年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
f1(x)
f2(x)
年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
f1(x)
f2(x)
②你认为应该从哪些方面改进函数模型？
预设答案：一是改进所选函数类型，二是改进函数中的参数。具体改进方法最好是结合函数图像的直观，结合数学运算，不断进行调整。如果利用计算机辅助改进效果最佳。
【设计意图】
通过计算和图像比对看误差与偏差，验证函数模型的优劣，让学生体会到建立函数模型过程只有更好，没有最好。改进函数模型也往往需要将直观与计算结合起来，因为仅凭感觉调整一个系数可能会影响原本拟合较好的数据。
五、课堂小结
1. 你认为怎样选择函数拟合数据误差更小？
2. 数学建模的主要步骤有哪些？如何撰写数学建模论文？
六、布置作业
农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，得到了以下数据：
生长阶段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
植株高度/cm 0.67 1.75 3.69 7.73 16.55 32.55 53.38 97.46 153.6 174.9 180.79
请建立适当的函数模型刻画该地区玉米的生长规律，并将研究过程写成一篇论文。
（参考函数模型：指数函数模型，逻辑斯谛模型，分段函数模型等。）