4.5 相似三角形判定定理的证明 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
北师大版九年级上册
第四章
图形的相似
4.5 相似三角形判定定理的证明
一、知识回顾
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
B’
A’
C’
B
A
C
两角分别相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相似三角形的判定定理1：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'，
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相似三角形的判定定理2：
三边成比例的两个三角形相似
用数学符号表示：
∴ △ ABC ∽ △A1B1C1
∵
A
B
C
A1
B1
C1
相似三角形的判定定理3：
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B’
A’
C’
B
A
C
证明：两角分别相等的两个三角形相似
二、探究新知
证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分
别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE.
∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，
∴△A′DE≌△ABC,
∴∠A′DE=∠B，
又∵∠B′=∠B，
∴∠A′DE=∠B′，
∴DE∥B′C′，
B’
A’
D
E
C’
B
A
C
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
过D连接DF// A′C′
∵ DF// A′C′ ,DE∥B′C′
∴四边形EDFC′是平行四边形
∴DE=FC′，
∵
∴△A′DE∽△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
F
已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A= ∠A′，
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∠ADE= ∠B′, ∠A ′ ED= ∠C′
∴△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
证明：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
A
B
C
A1
B1
C1
证明：三边成比例的两个三角形相似
已知：在△ ABC 与△A1B1C1中，
求证：△ ABC ∽ △A1B1C1
证明:在△A1B1C1的边A1B1 (或延长线)上截取 A1D=AB,
过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E.
∵ DE∥B1C1 ，
∴△ADE∽△A1B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
已知：在△ ABC 与△A1B1C1中，
求证：△ ABC ∽ △A1B1C1
∴
又
∴
∴
∴
（SSS）
∵
∴
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
1．如图，已知AD∥BC，∠A＝∠BDC＝90°.
(1)求证：BA·BC＝DB·DC；
(2)若BD＝6，DC＝8，求AB的长．
证明:∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBC
又∠A＝∠BDC＝90°
∴△ABD∽△DCB
∴ ，
∴BA·BC＝DB·DC；
三、定理运用
(2)∵△ABD∽△DCB
∴ ，
又∵BD＝6，DC＝8，
∴BC＝
∴AB＝ .
1．如图，已知AD∥BC，∠A＝∠BDC＝90°.
(1)求证：BA·BC＝DB·DC；
(2)若BD＝6，DC＝8，求AB的长．
三、定理运用
.
2.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90°.
求证：
(1)△ACD∽△CBD；
(2)AD·BD＝CD2.
证明：(1) ∵∠A＋∠ACD＝90°，
∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD
又∵CD是Rt△ABC的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°
∴△ACD∽△CBD.
三、定理运用
(2)由(1)知△ACD∽△CBD，
∴ ∴AD·BD＝CD2.
3.如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB点．
(1)证明图中一对相似三角形；
(2)求证： DE⊥EF.
(1)解： △ADE∽△BEF
证明如下：∵∠A＝∠B
E为AB中点，∴AE＝BE＝2
∴ ，
∴△ADE∽△BEF
三、定理运用
(2)证明：∵∠DEF＝180°－∠AED－∠BEF
＝180°－∠AED－∠ADE
＝∠A
＝90°
∴DE⊥EF
3.如图，正方形ABCD的边长为4，BF＝1，E为AB点．
(1)证明图中一对相似三角形；
(2)求证： DE⊥EF.
三、定理运用
4.如图，在△ABC中，点D为AB上一点，AD＝4， BD＝5，AC＝6.
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若CD平分∠ACB，∠B＝40°，求∠A的度数．
(1)证明:∵AD＝4，BD＝5，AC＝6
∴AB＝AD＋BD＝4＋5＝9
∴ ,
∴
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
三、定理运用
(2)解：由(1)知△ABC∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°，
∴∠A ＝180°－∠B－∠ACB
＝180°－40°－80°
＝60°.
4.如图，在△ABC中，点D为AB上一点，AD＝4， BD＝5，AC＝6.
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若CD平分∠ACB，∠B＝40°，求∠A的度数．
三、定理运用
1.如图，下列不能判定△AED与△ABC相似的是(　　)
A．∠1＝∠C B．∠2＝∠B
C. D.
D
四、课堂练习
　　
2.如图，在三角形纸片ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　　 )
A
C
B
D
B
四、课堂练习
3.如图，AD，BC交于点O，P为AB，CD延长线的交点，且 PA·PB＝PC·PD.求证：△PAD∽△PCB.
证明： ∵PA·PB＝PC·PD
∴
∵∠P＝∠P
∴△PAD∽△PCB
四、课堂练习
4.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交边DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
(1)证明: ∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC
∴∠AMB＝∠EAF 又∵EF⊥AM
∴∠AFE＝90°∴∠B＝∠AFE
∴△ABM∽△EFA
四、课堂练习
(2)解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5
∴AM＝ ，AD＝12
∵F是AM的中点
∴AF＝ AM＝6.5
∵△ABM∽△EFA
∴ ，即
∴AE＝16.9
∴DE＝AE－AD＝4.9
四、课堂练习
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，P，D分别是边BC，AC上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
四、课堂练习
(1)证明:∵AB＝AC，∴∠B＝∠C
∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C
∵∠APC=∠BAP＋∠B，∠APC=∠APD＋∠DPC
∴∠BAP＝∠DPC
∴△ABP∽△PCD
∴
∴AB·CD＝CP·BP
∵AB＝AC
∴AC·CD＝CP·BP
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，P，D分别是边BC，AC上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)解： ∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP
∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C
∵∠B＝∠B
∴△BAP∽△BCA
∴
∵AB＝10，BC＝12
∴
∴ BP＝
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，P，D分别是边BC，AC上的点，且∠APD＝∠B.
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
五、课堂小结
1.两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ △ ABC ∽ △ A'B'C'
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
∵ ∠A=∠A'，
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
3.三边成比例的两个三角形相似
∴ △ ABC ∽ △A'B'C'
∵
A
B
C
A '
B'
C'
六、布置作业
课本P102习题4.9 第1，2，3，4题
谢谢聆听