数学北师大版（2019）必修第一册2.1.1生活中的变量关系 教案

第二章　函数
第1节　生活中的变量关系
在现实生活中，很多问题中都存在着大量的变量，变量之间又往往存着某种特定的对应关系，这就是函数的雏形，通过了解变量之间的对应关系，帮助学生建立起完整的函数概念，本节通过引导学生在实际问题中找出变量之间的对应关系，为学习、理解函数的概念做好准备。
(1)知识目标：
在实际问题中找出变量之间的对应关系，深刻理解函数的概念；分段函数的概念，能够写出分段函数的解析式，画出其图象。
(2)核心素养目标：
通过在实际问题中找出变量之间的对应关系，培养学生利用函数的思想解决现实中有关变量的问题，提升学生的数学抽象能力。
(1) 学会分析实际问题中变量之间的对应关系，加深对函数概念的理解；
(2) 理解分段函数的概念，能够写出分段函数的解析式，画出分段函数的图象。
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一、复习引入
初中学习了哪些函数呢？
提示：正比例函数：；反比例函数：；一次函数：；一元二次函数：。
它们都表示了自变量与函数值之间的一种对应关系，是解析式表示的函数。
思考讨论：
一个人的体重（千克）与身高（厘米）都有着一定的关系，民间有一个粗略的公式，根据身高算出正常的体重：
男性标准体重（千克）＝身长（厘米）－100
女性标准体重（千克）＝身长（厘米）－102
如果各人算出来的数据差距较大，就说明你太胖或者太瘦了！
请算算你体重正常吗？
二、新知识
例1．如图，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料.储油罐的长度、截面半径是常量，油面高度、油面宽度、储油量是变量。
说明：储油量与油面高度存在着依赖关系，也与油面宽度存在着依赖关系.
对于油面高度的每一个取值，都有唯一的储油量和它对应.
但是，每一个油面宽度的值，却对应着两个储油量.
例2．自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展.截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km.图中表示的是中国高铁年运营里程的变化.
说明：从图中可看出：
（1）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；
（2）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多.
注意：在初中数学中，函数的定义：
如果在一个变化过程中，有两个变量，对于变量的每一个值，变量都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，其中是自变量，是因变量.
表示两个变量关系的函数的代数式，叫函数解析式.
关键词语“每一个值”“都有唯一确定的值”
如在例1中，储油量是油面高度的函数，但不是油面宽度的函数.
例3.弹簧的伸长量与弹力满足函数关系：，其中为劲度系数.
说明：对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力是伸长量的函数.
例4.如表，记录了几个不同气压下水的沸点:
说明：对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数.
例5.绿化可以改变小环境气候.某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图中是这两个观测点某一天的气温曲线图.
说明：图中反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应，所以每一条曲线都表示了一个函数关系.
例6.国内某快递公司邮寄普通货物限重30 kg，从A城市到B城市的快递资费标准是:质量1 kg及以下收费12元，以后质量每增加1 kg收费增加8元，质量不足1 kg按1 kg计算.
请写出邮件的质量kg与邮资元的函数解析式，并画出局部图象.
解：依题意知邮件的质量kg与邮资元的函数解析式为
该函数的局部图象如图：
注意：形如上述的函数，称为分段函数。
三、课堂练习
教材P51，练习1、2、3。
四、课后作业
教材P51，习题2-1，A组1、2、3。
函数的实质就是变量之间的一种特殊的对应关系，它要求“变量的每一个值，变量都有唯一确定的值和它对应”。函数解析式是函数的一种表示形式，下一节课还要学习函数的其他表示方法。