数学北师大版（2019）必修第一册2.2.1函数的概念 教案

第二章　函数
第2节　函数
2.2.1函数的概念
本节在初中用变量之间的依赖关系描述的函数概念基础上，采用集合语言和对应关系给出函数的新定义，使函数的概念更加完善，使学生深刻体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，理解构成函数的三个要素，为进一步研究函数的表示方法和函数的性质做好准备。
(1)知识目标：
掌握函数的定义以及构成函数的三个要素：两个集合一个对应法则；掌握函数的符号表示以及函数定义域、值域的概念；能够熟练进行函数的运算和定义域的求解。
(2)核心素养目标：
通过函数概念和函数相关运算的学习，提高学生的数学抽象和数学运算能力。
(1)函数的定义以及构成函数的三个要素；
(2)函数符号的含义，函数定义域、值域的概念；
(3)熟练进行函数的运算和定义域的求解。
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一、知识引入
中国清代数学家李善兰（1811—1882），他在其译著《代数学》中，称函数为“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这就是“函数”这一名称的得来。函数的定义分为传统定义和近代定义，传统定义是从运动变化的观点（变量）出发给出，而近代定义是从集合、映射的观点给出。
思考讨论：上一节课我们复习了初中对“函数的定义”，按照这个定义，是不是函数呢？
提示：是函数!符合“所有的实数”“都有唯一的”和它对应，注意这里面函数值并不是变量，所以高中对“函数”的概念给出新定义。
二、新知识
函数的定义：
给定实数集中的两个非空数集和，如果存在一个对应关系，使对于中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就把对应关系叫作定义在上的一个函数。
记作，
其中集合叫作函数的定义域，叫作自变量，与值对应的值叫作函数值，集合叫作函数的值域.
注意：①函数是两个非空数集之间的一种对应关系，要求是“定义域内每个的值”“都有唯一确定的值”与它对应。函数式“”的含义是“在对应法则下所对应的值是”或“自变量取时计算出的函数值是”；
如：，则
②函数的三个要素：集合(定义域)、集合和对应法则，两个函数如果集合(定义域)与对应法则相同，那么它们是相同的函数；
如：函数与函数是不同的函数，因为定义域不同.
③如果没有特别说明，函数的定义域是使函数解析式有意义或符合实际意义的自变量的取值范围，函数的值域是集合或其子集.
例1.下列各组中的两个函数是否为同一个函数？
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，.
解：(1)的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，所以不是同一个函数；
(2)两个函数的解析式（对应法则）不同，所以不是同一个函数；
(3)函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，所以不是同一个函数；
(4) 两个函数虽然表示自变量的字母不同，但是解析式和定义域均相同，所以是同一个函数.
例2.求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3) .
解：(1)要使函数有意义，则，所以函数的定义域为；
(2)要使函数有意义，则且，所以函数的定义域为；
(3)要使函数有意义，则且，解得所以函数的定义域为.
思考讨论（综合练习）
(1)已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
提示：(1)根据题意，时，,
当时，函数为，定义域为，符合条件.
当时，对任意实数，，则，
解得，
所以实数的取值范围为.
(2) 函数的定义域为，即，得
则，解得1，即函数的自变量的取值范围是1
所以函数的定义域为.
三、课堂练习
教材P53，练习1、2.
四、课后作业
教材P56，习题2-2，A组第2、4题，B组第1题.
函数三要素是定义域、值域和对应法则；一个函数如果没有特别说明，函数的定义域是使函数解析式有意义或符合实际意义的自变量的取值范围，比如“”表示的是关于“”的函数，其定义域仍然是自变量的取值范围。