上海市华二附中2022-2023学年高一上学期9月开学考试数学试题（含解析）

上海市华二附中2022-2023学年高一上学期9月开学考试
数学试题
一 填空题
1.已知集合，若，则实数的值为__________.
2.若集合，则__________（用“”“”“”连接）.
3.若，则整数__________.
4.，试用列举法表示__________.
5.已知，若，则实数的取值范围是__________.
6.已知集合，，若，则非零实数的可能取值集合是________
7.若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
8.用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则______.（请用列举法表示）
9.已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________.
10.已知函数（），集合，，若，则的取值范围为______.
二、选择题
11.下列命题中正确的是（ ）
A.空集没有子集
B.空集是任何一个集合的真子集
C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D.设集合，那么，若，则
12.已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A.5个 B.8个 C.3个 D.2个
13.设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（ ）
A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③
14.设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ；则称τ是集合X上的一个拓扑.
已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}；
②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；
④τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}；
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（ ）
A.② B.①③ C.②④ D.②③
三、解答题
15.已知.
（1）若是的子集，求实数的值；
（2）若是的子集，求实数的取值范围.
16.已知命题关于的不等式的解集为A，且；命题关于的方程有两个不相等的正实数根.
（1）若命题为真命题，求实数的范围；
（2）若命题P和命题q中至少有一个是假命题，求实数m的范围.
17.定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
（1）求集合的生成集B；
（2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
（3）若集合，A的生成集为B，求证.
18.已知，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数.
（1）令，存在m个，使得，写出m的值；
（2）令，若，求证：；
（3）令，若，求所有之和.
上海市华二附中2022-2023学年高一上学期9月开学考试
数学试题答案
一 填空题
1.【解析】因为，
当时，，不满足元素的互异性，
当，即或时（其中含去），
；满足元素的三个性质，所以
2.【解析】，所以.
3.【解析】由题意得，所以.
4.【解析】集合，
，则.
5.【解析】当时，，解得：
当时，所以
综上，实数的取值范围是.
6.【解析】由于相互异性，所以或或
或，所以或（舍）或或，
所以非零实数的可能取值集合是
7.【解析】由题意，不等式且，所以，
令.
所以是一个确定的二次函数.
而一次函数，图象是过一定点的动直线.
又.数形结合得.
8.【解析】由于，等价于①或②
又，，
所以要么是单元素集合，要么是三元素集合，
（1）当是单元素集合，则（舍去）.
则方程①有两个相等的实根，②无实数根，此时；
（2）集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实
数根，即，解得
实数的所有可能取值构成集合
综上所述，或.即.
9.【解析】因为，函数的对称轴为，
对任意的，.记.
由题意d得当时不成立，
当时，在上是增函数，
所以，记，由题意知，
所以，解得.
当时，在上是减函数，
所以，记，由题意得
所以，解得.
综上所述，.
10.【解析】因为函数，集合.
所以函数与轴有交点，，
解得或，
，今，而.
且二次函数的对称性得.即，
所以，而，
所以，解得，
而或.所以的取值范围为.
二、选择题
11.【解析】A选项，空集子集是的空集，A错误；
B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错误；
C选项，空集只有一个子集，C错误；
D选项，设集合，那么，若，则，故D正确.
故选：D.
12.【解析】因为，
所以，
所以集合的子集个数为，故选：B
13.【解析】得，
也是一一对应，
集合，也是一一对应，
集合，一一对应，集合，这个不能一一对应了，集合包含于中.
故相同的集合有①②③，故选.
14.【解析】①
而，故①不是集合上的拓扑的集合：
②，满足（1）属于属丁；
（2）中有限个元索的并集属于（3）中有限个元素的交集属于：
因此②是集合上的拓扑的集合：
③，满足：（1）X属于，属于；
（2）中有限个元素的并集属于；（3）中有限个元素的交集属于
因此③是集命上的拓扑的集合；
④
而，故④不是集合上的拓扑的集合；
故选.
三、解答题
15.【解析】（1）.若是的子集，只能，
所以，解得：
（2）若是的了集，则或或或
若.则，解得：
若.由韦达定理得，方程组无解；
若，由韦达定理得，解得；
若，由（1）得：
综上，的取值为或.
16.【解析】命题：关于的不等式的解集为，且，则.
解得：
命题：关于的方程有两个不相等的正头数根，则，
解得.
（1）由命题p为真命题，所以实数m的范围是
（2）由命题和命题中都是真命题.则.解得.
得命命题利命题中至少有一个是假命题，则或.
17.【解析】（1）由题意得当，当时，，
当时，，
当或时，
所以
（2）当时，，
当时，
当或时，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或或，
解得或（舍去），
所以或.
（3）证明：，
，
，
所以，即所以，
又，所以，所以
18.【解析】（1）因为，
所以，即：
（2）令，
因为或1，或1；
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
故
所以
（3）易得，中共有个元索，分别记为
因为的男有个，的共有个.
所以
所以.