上海市闵行区重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学考数学试题（含解析）

上海市闵行区重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学考
数学试题
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知向量，，，则向量的坐标为_________.
2. 一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为_________.
3. ，，，若，，三向量共面，则实数_________.
4. 如果平面外有两点、到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系为_________.
5. 一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为_________.
6. 如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为_________.
7. 已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则_________.
8. 圆锥轴截面的顶角为，母线长为2，则过任意两条母线的截面面积的取值范围为_________.
9. 四面体的所有棱长都等于，、、分别为、、中点，则_________.
10. 设空间向量、、是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意、，的最小值是2，则的最小值是_________.
11. 正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为_________.
12. 已知四边形为矩形，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，设的中点为，在翻折过程中，得到如下有三个命题：
①平面；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为_________.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 已知空间中三点，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 与不是共线向量 B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
14. 已知直二面角，直线在平面上，直线在平面上，且直线与直线不垂直，直线与直线不垂直，则以下判断正确的是（ ）
A. 与可能垂直，但不可能平行 B. 与可能垂直，也可能平行
C. 与不可能垂直，但可能平行 D. 与不可能垂直，也不可能平行
15. 三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知两个平面、和三条直线、、，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线、所成的角的大小为，则（ ）
A. B. C. ， D. ，
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
18. 如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点、在底面圆周上，且，点、分别为、的中点.
（1）求证：；
（2）若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线与平面所成的角的正弦值.
19. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米.
（1）求关于的函数解析式；
（2）设容器的容积为立方米，则当为何值时，最大？求出的最大值（求解本题时，不计容器的厚度）.
20. 如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，.沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥.
（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
（2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
21. 已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、且，点在直线上，为的中点，且直线平面.
（1）设，，，试用底表示向量；
（2）证明：四面体中至少存在一个顶点，从其出发的三条棱能够组成一个三角形；
（3）证明：对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上.
上海市闵行区重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学考
数学试题
参考答案
一、填空题
1.【解析】向量.
2.【解析】由于该四棱柱为正四棱柱，所以底面为边长为2的正方形，
所以.
3.【解析】，，，若，，三向量共面，设，
即，
所以，解得，所以.
4.【解析】①当、两点在平面的同侧时，由于、到的距离相等，
所以直线与平面平行；
②当，两点在平面的两侧时，并且的中点在平面内时，
、到的距离相等，此时直线与平面相交，
综上所述，直线与平面平行或直线与平面相交.
5.【解析】设球的半径为，则圆柱的表面积，
球的表面积，所以.
6.【解析】
，所以.
7.【答案】或
8.【答案】
9.【解析】因为四面体的所有棱长都等于，
所以四面体是正四面体，，，不共面，如图，
，
因为、、分别为、、中点，
所以，
，所以
.
10.【解析】以，方向为、轴，垂直下，方向为轴，建立空间真角坐标系，
则，，，
设，则，
当，时，的最小值是2，所以，
取，则，所以，
因为，是任意值，所以的最小值为5，
取，则，所以，
因为，是任意值，所以的最小值为1.
11.【解析】设立方体的棱长为1，过作直线，
若直线与平面中的直线所成角的最小值为，
即与平面所成角为，
为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，
连接，由题意得，直线与直线所成角为，
直线与直线所成角为.
此时为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，
两个圆锥相交得到两条交线.
12.【解析】对于①，分别延长、交于，连接，如图所示：
由为中点，，得为的中点，
得为的中位线，得，
平面，平面，得平面，①正确；
对于②，当平面平面时，到平面的距离最大，且为，
此时到平面的距离最大，且为，
的面积为，
得三棱锥的最大体积为，②正确；
对于③，若，又，，得，
则平面，即有，这与为斜边矛盾，③错误；
综上，以上正确命题的序号为①②.
二、选择题
13.【解析】对于A，，，所以与不是共线向量，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，，
，故C错误；
对于D，，，设平面的法向量，
则，取，得，故D正确，
故选C.
14.【解析】直二面角，直线在平面上，直线在平面上，
直线与直线不垂直，直线与直线不垂直，
当直线直线，直线直线时，，排除选项AD；
当直线直线时，则直线直线，与直线与直线不垂直相矛盾，
所以与不可能垂直，排除B.故选C.
15.【解析】设三棱锥的三条侧棱、、两两相互垂直，
设，，，则这个三棱锥的体积，
三个侧面的面积分别为、、，，，，
所以，，这个三棱锥的体积为，
故选C.
16.【解析】由直线与平面所成角的定义得、、这三个角中，是最小的角，
所以，.故选D.
三、解答题
17.【解析】（1）连接交于点，则为中点，连接，
在直二棱柱中，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为， ，所以平面，
所以，设点到平面的距离为，
由，得，解得.
18.【解析】（1）因为，，所以是等边三角形，
因为是的中点，所以，
因为、分别是、的中点，所以，
因为平面，所以，所以，
又，所以平面，又平面，
所以.
（2）因为平面，，所以平面，
以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，
所以.
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成的角的正弦值为.
19.【解析】（1）设为正四棱锥的斜高，由题意得，
解得；
（2），易得，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
故当米时，有最大值，的最大值为立方米.
20.【解析】（1）在翻折过程中总有平面平面，证明如下：
因为点，分别是边，的中点，
又，所以且是等边三角形，
因为是的中点，所以，
因为菱形的对角线互相垂直，所以，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由题意得四边形为等腰梯形，且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到面的距离最大即可，
所以当平面时，点到平面的距离的最大值为，
此时四棱锥体积的最大值为，
直线和平面所成角的为，
连接，在直角三角形中，，，
.
（3）假设符合题意的点存在，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，则，，，，
由（2）得，又，
且，平面，平面，
所以平面，
故平面的一个法向量为，
设，因为，，
，所以，.
设平面的一个法向量为，
则，，即，
令，所以，
则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，解得.
故符合题意的点存在且为线段的中点.
21.【解析】（1）因为，所以；
（2）不妨设是四面体最长的棱，
则在，中，，，
所以，所以，
所以，至少有一个大于，不妨设，
所以、、能构成三角形；
（3）设，，，由（1）得，
因为，所以，，
因为，所以，
，
，设，
因为，
，
因为平面，所以存在实数、使得，
所以
，
所以，消元得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，，
故对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上.