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专题01 根的定义与韦达定理结合
类型一 确定两个字母是某方程的俩根
1．若a、b是互不相等的两个实数，且分别满足a2﹣a﹣1=0，b2﹣b﹣1=0，则a+b+2ab的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：根据题意可把a、b看作方程x2﹣x﹣1=0的两根，则利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，然后利用整体代入的方法计算a+b+2ab的值．
解：∵a、b是互不相等的两个实数，且分别满足a2﹣a﹣1=0，b2﹣b﹣1=0，
∴a、b可看作方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴a+b+2ab=1+2×（﹣1）=﹣1．
故选A．
考点：根与系数的关系．
2．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）．
A． B． C．或2 D．或2
【答案】A
【解析】
【详解】
解：由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，可把a，b看成是方程x2﹣7 x+2=0的两个根，所以a+b=7，ab=2，所以=== ．
故选A．
3．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】
先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab=mn2，从而得到abmn的值．
【详解】
解：∵（a+m）（a+n）=2，（b+m）（b+n）=2，
∴a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，
∴ab=mn2，
∴abmn=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
4．已知互不相等的实数m、n，且满足m2+3m﹣5＝0，n2+3n﹣5＝0，则m2﹣n2+mn+6m的值为（ ）
A．14 B．﹣14 C．10 D．﹣10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：m、n是方程x2+3x﹣5＝0的两根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣5，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）+mn+6m
＝﹣3（m﹣n）﹣5+6m
＝﹣3m+3n+6m﹣5
＝3m+3n﹣5
＝3（m+n）﹣5
＝﹣9﹣5
＝﹣14，
故选B．
【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系的表达式.
5．若实数，且a、b满足，，则代数式的值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则a＋b=5，ab=3，即可得到结论．
【详解】
解：∵实数a，b满足，，且
∴a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，
则a＋b=5， ab=3，
∴原式=
=
=
=
=，
故答案为： 5．
【点睛】
本题主要考查了根与系数关系、整体代入的思想，解题的关键是学会转化的思想，把问题转化为一元二次方程解决，学会利用公式恒等变形，属于中考常考题型．
6．已知实数满足 ，且，则的值是_______．
【答案】7．
【解析】
【详解】
解：∵实数满足 ，且，
∴是方程的两个根．
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查求代数式的值；一元二次方程根与系数的关系；整体思想的应用．
7．若实数a≠b，且a、b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，则代数式a2﹣6a﹣b的值为_____．
【答案】-8．
【解析】
【分析】
a、b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个实数根，根据根与系数关系求解.
【详解】
解：∵实数a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，
∴a、b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个实数根，
则a+b＝5、ab＝3，
∴原式＝﹣3﹣5＝﹣8，
故答案为﹣8．
【点睛】
考核知识点：根与系数关系.
8．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
【答案】A
【解析】
【分析】
把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可
【详解】
解：，，
看作以上方程的两个不同的根，
即是方程的两根，
故，即
故选A
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．
类型二 变形后确定两个字母是某方程的俩根
9．已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，,又5m2+2010m+9=0，
∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m ==．
故选C
10．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
【答案】A
【解析】
【分析】
把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可
【详解】
解：，，
看作以上方程的两个不同的根，
即是方程的两根，
故，即
故选A
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．
11．设实数、分别满足，，且，求的值．
解：∵，
显然，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴与为方程的两根，
∴；
12．已知实数满足，，求的值．
【详解】
∵
∴
又∵
∴和可以看成是方程的两个根．
∴或
当时，
∴
当时，x,y无解.
13．已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
解：∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝
∴a、b是方程x2＋cx＋＝0的两根，
∴Δ＝c2－≥0
∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，
∴c的最小值为4．
类型三 综合解答
14．阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以＝﹣3．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1．求的值．
【答案】（1）-2，-；（2）﹣；（3）﹣．
【解析】
【分析】
（1）直接利用根与系数的关系求解；
（2）把m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2＝mn（m+n），然后利用整体的方法计算；
（3）先把t2+99t+19＝0变形为19 （）2+99 +1＝0，则把实数s和可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，利用根与系数的关系得到s+＝﹣，s ＝，然后变形为s+4 +，再利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：（1）x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝﹣；
故答案为﹣2；﹣；
（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，
∴m+n＝1，mn＝﹣，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；
（3）把t2+99t+19＝0变形为19 （）2+99 +1＝0，
实数s和可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，
∴s+＝﹣，s ＝，
∴＝s+4 +＝﹣+4×＝﹣．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．
15．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2－3x＋2＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？
【答案】（1）是倍根方程，；
（2） 或
【解析】
【详解】
(1)方程x －3x＋2＝0可变形为(x-1)(x-2)=0∴x-1=0或x-2=0
∴方程的两个根分别为，∵2=1×2
∴方程x2－3x＋2＝0是“倍根方程”
(2) ∵方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程,且有一根为2.设另一根为，则=1或4，当=1时， 解得： .当=4时， ，解得： ，
综上所述得： 或
16．已知a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，求的值．
【答案】﹣8
【解析】
【分析】
观察已知a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，可以发现，看成关于x的方程x2+2x﹣1=0的两根，利用根与系数关系和方程解得定义可得到，b4=2b2+1，然后代入所求的代数式化简即可．
【详解】
解：∵b4﹣2b2﹣1=0，
∴b≠0
∴两边除以（﹣b4）得：
∵1﹣ab2≠0，
∴，
又∵a2+2a﹣1=0，
∴把，看成关于x的方程x2+2x﹣1=0的两根，
∴，b4=2b2+1，
∴a=﹣b2
∴
=
=
=﹣8．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是求出a与b2的关系，然后把代数式化简成为常数即可求值．
17．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，p是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝ ，α β＝ ；若2，3是方程x2+mx+n＝0的两根，则m＝ ，n＝ ；
（2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值；
（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值.
【答案】（1）3，1，－5，6；（2）或2；（3）3
【解析】
【分析】
（1）根据根与系数的关系即可得到结论；
（2）根据α，b满足a2-5a+3=0，b2-5b+3=0，得到α，b是方程x2-5x+3=0的解．当α≠b时，是方程a+b=5，ab=3，根据根与系数的关系即可得到结论；当α=b时，原式=2；
（3）根据a+b+c=0，abc=5，求得a+b=-c，ab= ，于是得到α，b是方程x2-=0的解，即可得到结论．
【详解】
（1）α，p是方程x2-3x+1=0的两根，则α+β=3，α β=1；若2，3是方程x2+mx+n=0的两根，则m=-5，n=6；
故答案为3，1，-5，6；
（2）∵α，b满足a2-5a+3=0，b2-5b+3=0，
∴α，b是方程x2-5x+3=0的解．
当α≠b时，是方程a+b=5，ab=3，
∴，
当α=b时，原式=2；
（3）∵a+b+c=0，abc=5，
∴a+b=-c，ab=，
∴α，b是方程x2-cx+=0的解，
∴c2-4×≥0，
∵c是正整数，
∴c3-20≥0，即c≥.
∴正整数c的最小值是3．
∴正整数c的最小值是3．
【点睛】
此题考查根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
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专题01 根的定义与韦达定理结合
类型一 确定两个字母是某方程的俩根
1．若a、b是互不相等的两个实数，且分别满足a2﹣a﹣1=0，b2﹣b﹣1=0，则a+b+2ab的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．
2．若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）．
A． B． C．或2 D．或2
3．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的值为（ ）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
4．已知互不相等的实数m、n，且满足m2+3m﹣5＝0，n2+3n﹣5＝0，则m2﹣n2+mn+6m的值为（ ）
A．14 B．﹣14 C．10 D．﹣10
5．若实数，且a、b满足，，则代数式的值为_______________．
6．已知实数满足 ，且，则的值是_______．
7．若实数a≠b，且a、b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，则代数式a2﹣6a﹣b的值为_____．
8．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
类型二 变形后确定两个字母是某方程的俩根
9．已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
10．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
11．设实数、分别满足，，且，求的值．
12．已知实数满足，，求的值．
13．已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
类型三 综合解答
14．阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以＝﹣3．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1．求的值．
15．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2－3x＋2＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？
16．已知a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，求的值．
17．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若α，p是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝ ，α β＝ ；若2，3是方程x2+mx+n＝0的两根，则m＝ ，n＝ ；
（2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值；
（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值
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