浙江省瑞安市八校2012-2013学年高二下学期期中联考数学（理）试题

2012学年第二学期瑞安八校高二期中联考数学（理科）
（本科考试时间为90分钟，满分为100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2． 一质点做直线运动，由始点经过后的距离为，则速度为的时刻是（ ）
A． B． C．与 D．与
3．将石子摆成如图的梯形形状，称数列为“梯形数”．根据图形的构成，数列的第10项为（ ）

A． B． C． D．
4．设函数在处导数存在，则（ ）
A． B． C． D．
5.下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）
A．半径为圆的面积，则单位圆的面积；
B．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；
C．猜想数列的通项公式为；
D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为 ．
6．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）．下面四个图象中，的图象大致是（　　）
7．已知函数在处取极值，则＝（ ）
A．9 B． C． D．
8．如果函数对于区间D内任意的，有 成立，称是区间D上的“凸函数”．已知函数在区间上是 “凸函数”，则在△中，的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（　　）
（A） １ 　　 （B） 　 （C） ２ 　 （D）
10．右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ） [ （A） （B） （C） （D）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填写在题中横线上）
11．曲线在点处的切线方程是 。
12. 正六边形的对角线的条数是 ，正边形的对角线的条数是 （对角线指不相邻顶点的连线段）。
13．已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则实数的值是
14．函数单调增区间是 ;
15.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .
16．若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围_______
17. 已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是
三、解答题（本大题共5小题，共42分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤）
18．（本小题满分7分）已知,复数z =.
（1）实数m取什么值时,复数z为纯虚数?
（2）实数m取什么值时,复数z对应的点在直线上?
19．（本小题满分7分）已知中至少有一个小于2。
20．(本题满分8分) 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
----------①
------②
由①+② 得 ------③
令 有
代入③得 ．
（1）利用上述结论，试求的值。
（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
;
21. (本题满分10分)设函数.
(1)求函数的单调区间和极值。
(2)若关于的方程有三个不同实根，求实数的取值范围；
(3)已知当(1，＋∞)时，恒成立，求实数的取值范围．
22．(本题满分10分)设曲线在点处的切线斜率为，且，对一切实数,不等式恒成立．
（1） 求的值；
（2） 求函数的表达式；
（3） 求证:．
瑞安市部分学校高二数学（理科）期中考试答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
C
A
C
B
D
B
B
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. y=3x-2 12. 9 ， 13. -1 14. (0 ,e) 15. 16. [1 , ) 17.（）
三 解答题（本大题共5小题，共42分）
18．（1）由题可得，解得。——————————3分
（2）由题可得，解得或。————7分
19．证明：假设 都不小于2，则 —————2分
因为，所以，即，
-------------5分
这与已知相矛盾，故假设不成立。综上中至少有一个小于2。
-----------------7分
20．（1）由题可得=
。————————3分
（2）因为， ①
， ②
①-② 得. ③
令有，
代入③得. ————————8分
21. (1) 解：f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x<－时，f′(x)>0；当－所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4. ---————-3分
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4(3) 解：f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝－3.
所以k的取值范围是k≤－3. ——————10分
22．解：（1）由，所以 ——————3分
（3） ————————7分
要证原不等式，即证
因为 —————8分
所以=
所以 ——————10分
本小问也可用数学归纳法求证。证明如下：
由
当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立 ———7分
假设当时，不等式成立，即
当时，
左边=
由
所以 —————9分
即当时，不等式也成立综上得 ————10分
安阳高中 陈辉 663759