1.2.4 二面角 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 1.2.4 二面角 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 855.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 17:45:36 | ||
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文档简介
教学设计
教学基本信息
课题 二面角
学科 数学 学段： 第四学段 年级 高二
教材 书名： 普通高中教科书数学选择性必修第一册B版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 8 月
教学目标及教学重点、难点
学习二面角的相关概念，了解二面角的表示方法； 了解二面角的平面角的概念，学会通过线面垂直的性质、三垂线定理和逆定理，作二面角的平面角； 学会应用解三角形的方法，求解二面角的平面角的大小. 着重培养学生的观察能力、抽象概括能力和空间想象能力，正确使用空间图形的描述方法，理解并掌握空间图形平面化的数学思想和解三角形的计算技巧. 共设计2道例题,分别在两个空间几何基本型——三棱锥、立方体中，学习并掌握寻找和作出二面角的平面角的方法，并完成角的求解和计算.
教学过程(表格描述)
教学环节 主要教学活动 设置意图
引入 日常生活中，很多场景都有平面与平面所成一定角度的形象，鳞次栉比的屋顶、有特点的建筑、公交车站候车亭、打开的书和笔记本、可拉伸的节能灯……如何刻画这些面与面所成的角，度量它们的大小呢？ 通过对生活中的观察，认识面与面相交的情况下几何图形的特征，引出对二面角及二面角的平面角的概念.
新课 一、二面角的相关概念 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这个直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面. 2. 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 3.二面角的平面角的作法 已知平面内一点A 过A作于B； 在平面内，过A作于C； 连接BC. 即为所求作的二面角的平面角. 二面角的大小 我们约定，二面角及其平面角的大小为. 直二面角 平面角是直角的二面角是指二面角，因此证明两个面垂直可以通过证明所成二面角为直二面角得到. 通过两个面相交的图形得到二面角的形象，从而引出二面角的表示. 借助二面角与平面角的对比，引出对二面角大小的度量方法的思考，得到二面角的平面角的概念十分自然. 借助点是线、面的元素，从已知面内一点，到得到二面角的平面角，作法中应用了线面垂直的性质，三垂线定理及其逆定理，是对垂直证明的回顾和复习. 通过运动变化的观点，研究二面角的范围，确定二面角的大小要通过准确的观察，突出了观察在解决立体几何题目的重要作用.
例题 例1. 如图三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC, SA=SC=√3，AB=BC=2，且AB⊥BC， 求（1）二面角S-AB-C的大小 二面角B-SA-C的大小 解：取AC,AB的中点D,E. 连接SD,DE,SE. 因为SA=SC, 所以SD⊥AC. 又因为面SAC⊥面ABC， 所以SD⊥面ABC. 所以SE在平面ABC内的射影为DE. 因为DE为△ABC的中位线，AB⊥BC，所以AB⊥DE, 从而由三垂线定理可知AB⊥SE， 所以∠SED为二面角S-AB-C的平面角. 由AB=BC=2且AB⊥BC可知，所以 . 又因为，从而在△SDE中，，从而可知∠SED=45°， 即所求二面角大小为45°. (2)解：连接BD， 因为BA=BC, 所以BD⊥AC. 又因为面SAC⊥面ABC， 所以BD⊥面SAC. 过D作DF⊥SA于F，连接BF. 因为DF⊥SA， 由三垂线定理可知BF⊥SA， 所以∠BFD为二面角B-SA-C的平面角. 因为SD=1, , 由△SAD的面积求法， 得. 由（1），所以，所以，即二面角为60°. 已知正方体, 棱长为1. 求（1）二面角的余弦值； （2）二面角的余弦值. 解：连接交于O，观察发现二面角是钝角，与二面角互补. 连接BO， 因为, ， 所以是二面角的平面角, 设二面角的平面角为，. 所以， 由同角关系可知，即二面角的余弦值为. 观察图形，正方体截面和截面均是正三角形. 解：取AB的中点E，连接. 所以， 所以是二面角的平面角. 正三角形边长为，高为.所以, 又. 在△中，由余弦定理得， 即二面角的余弦值为. 三棱锥是立体几何的基本图形，选择这个题目提醒学生注意审题，仔细找准二面角. 把握住等腰三角形的条件，通过等腰三角形三线合一的性质，取中点证垂直，借助面面垂直的性质，推导出线面垂直的结论，并利用三垂线定理作出二面角的平面角，这是一个典型的解题流程，着重让学生体会证明的逻辑. 找到包含二面角的平面角的三角形，通过解三角形的方法求解角. 第（2）问和第（1）问作法类似，着重训练学生准确作出二面角的平面角. 正方体是空间几何体的基本图，正方体截面问题是正方体的常见问题.借助图形的特殊性，在图中寻找线面垂直，确定二面角的平面角的位置是此题的突破口. 做立体几何的题目要重视观察法，通过确定二面角的大小，做出相应三角函数值的符号判断. 解三角形中已知三边的情况下使用余弦定理，提醒同学注意问题处理的灵活性.
总结 二面角的表示：面-棱-面 2. 二面角的度量：求二面角的平面角. 关注作二面角的平面角的方法、三垂线定理及其逆定理的使用. 3. 灵活运用空间几何平面化的思想，把二面角的平面角放到三角形里求解. 总结反思，强化本节课的学习重点
作业 教材第52页练习A 第1题 已知二面角的大小为，且，△ABP的面积为3，求△的面积. 2.教材第52页 练习B 第2题 已知正三棱锥的所有棱长都为1，求其侧面与底面所成角的余弦值. 3.教材第52页 练习B 第3题 已知AB是圆的直径，且，垂直于圆所在的平面，且，是圆周上一点，且.求二面角的大小. 复习本节课的学习内容，学会在几何体中寻找或作出二面角的平面角，并求解.
教学基本信息
课题 二面角
学科 数学 学段： 第四学段 年级 高二
教材 书名： 普通高中教科书数学选择性必修第一册B版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 8 月
教学目标及教学重点、难点
学习二面角的相关概念，了解二面角的表示方法； 了解二面角的平面角的概念，学会通过线面垂直的性质、三垂线定理和逆定理，作二面角的平面角； 学会应用解三角形的方法，求解二面角的平面角的大小. 着重培养学生的观察能力、抽象概括能力和空间想象能力，正确使用空间图形的描述方法，理解并掌握空间图形平面化的数学思想和解三角形的计算技巧. 共设计2道例题,分别在两个空间几何基本型——三棱锥、立方体中，学习并掌握寻找和作出二面角的平面角的方法，并完成角的求解和计算.
教学过程(表格描述)
教学环节 主要教学活动 设置意图
引入 日常生活中，很多场景都有平面与平面所成一定角度的形象，鳞次栉比的屋顶、有特点的建筑、公交车站候车亭、打开的书和笔记本、可拉伸的节能灯……如何刻画这些面与面所成的角，度量它们的大小呢？ 通过对生活中的观察，认识面与面相交的情况下几何图形的特征，引出对二面角及二面角的平面角的概念.
新课 一、二面角的相关概念 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这个直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面. 2. 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 3.二面角的平面角的作法 已知平面内一点A 过A作于B； 在平面内，过A作于C； 连接BC. 即为所求作的二面角的平面角. 二面角的大小 我们约定，二面角及其平面角的大小为. 直二面角 平面角是直角的二面角是指二面角，因此证明两个面垂直可以通过证明所成二面角为直二面角得到. 通过两个面相交的图形得到二面角的形象，从而引出二面角的表示. 借助二面角与平面角的对比，引出对二面角大小的度量方法的思考，得到二面角的平面角的概念十分自然. 借助点是线、面的元素，从已知面内一点，到得到二面角的平面角，作法中应用了线面垂直的性质，三垂线定理及其逆定理，是对垂直证明的回顾和复习. 通过运动变化的观点，研究二面角的范围，确定二面角的大小要通过准确的观察，突出了观察在解决立体几何题目的重要作用.
例题 例1. 如图三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC, SA=SC=√3，AB=BC=2，且AB⊥BC， 求（1）二面角S-AB-C的大小 二面角B-SA-C的大小 解：取AC,AB的中点D,E. 连接SD,DE,SE. 因为SA=SC, 所以SD⊥AC. 又因为面SAC⊥面ABC， 所以SD⊥面ABC. 所以SE在平面ABC内的射影为DE. 因为DE为△ABC的中位线，AB⊥BC，所以AB⊥DE, 从而由三垂线定理可知AB⊥SE， 所以∠SED为二面角S-AB-C的平面角. 由AB=BC=2且AB⊥BC可知，所以 . 又因为，从而在△SDE中，，从而可知∠SED=45°， 即所求二面角大小为45°. (2)解：连接BD， 因为BA=BC, 所以BD⊥AC. 又因为面SAC⊥面ABC， 所以BD⊥面SAC. 过D作DF⊥SA于F，连接BF. 因为DF⊥SA， 由三垂线定理可知BF⊥SA， 所以∠BFD为二面角B-SA-C的平面角. 因为SD=1, , 由△SAD的面积求法， 得. 由（1），所以，所以，即二面角为60°. 已知正方体, 棱长为1. 求（1）二面角的余弦值； （2）二面角的余弦值. 解：连接交于O，观察发现二面角是钝角，与二面角互补. 连接BO， 因为, ， 所以是二面角的平面角, 设二面角的平面角为，. 所以， 由同角关系可知，即二面角的余弦值为. 观察图形，正方体截面和截面均是正三角形. 解：取AB的中点E，连接. 所以， 所以是二面角的平面角. 正三角形边长为，高为.所以, 又. 在△中，由余弦定理得， 即二面角的余弦值为. 三棱锥是立体几何的基本图形，选择这个题目提醒学生注意审题，仔细找准二面角. 把握住等腰三角形的条件，通过等腰三角形三线合一的性质，取中点证垂直，借助面面垂直的性质，推导出线面垂直的结论，并利用三垂线定理作出二面角的平面角，这是一个典型的解题流程，着重让学生体会证明的逻辑. 找到包含二面角的平面角的三角形，通过解三角形的方法求解角. 第（2）问和第（1）问作法类似，着重训练学生准确作出二面角的平面角. 正方体是空间几何体的基本图，正方体截面问题是正方体的常见问题.借助图形的特殊性，在图中寻找线面垂直，确定二面角的平面角的位置是此题的突破口. 做立体几何的题目要重视观察法，通过确定二面角的大小，做出相应三角函数值的符号判断. 解三角形中已知三边的情况下使用余弦定理，提醒同学注意问题处理的灵活性.
总结 二面角的表示：面-棱-面 2. 二面角的度量：求二面角的平面角. 关注作二面角的平面角的方法、三垂线定理及其逆定理的使用. 3. 灵活运用空间几何平面化的思想，把二面角的平面角放到三角形里求解. 总结反思，强化本节课的学习重点
作业 教材第52页练习A 第1题 已知二面角的大小为，且，△ABP的面积为3，求△的面积. 2.教材第52页 练习B 第2题 已知正三棱锥的所有棱长都为1，求其侧面与底面所成角的余弦值. 3.教材第52页 练习B 第3题 已知AB是圆的直径，且，垂直于圆所在的平面，且，是圆周上一点，且.求二面角的大小. 复习本节课的学习内容，学会在几何体中寻找或作出二面角的平面角，并求解.