2.2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计（表格式）

课程基本信息
课题 2.2.1直线的倾斜角与斜率
教科书 书名：《普通高中教科书·数学（B版）·选择性必修·第一册》 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年6月
教学目标
教学目标： 1.了解倾斜角，斜率、方向向量和法向量的概念及其相互关系； 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式 3.能用倾斜角、斜率、方向向量和法向量解决简单的问题 教学重点：直线倾斜角和斜率的概念与相互关系 教学难点：直线倾斜角和斜率以及方向向量和法向量的关系
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1min 新课引入 同学们好，我们知道两点确定一条直线，过一个点有无数条不同的直线。那么这无数条的直线有什么区别吗？ 对，它们的方向各不相同，或者说它们的倾斜程度不同。那么如何刻画它们的倾斜程度呢？
18min 新课讲解 直线的倾斜角 如果平面直角坐标系中的一条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角； 如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°。 我们看看倾斜角的范围。 直线l1的倾斜角是0°，的倾斜角是90°， l3的倾斜角是锐角，的倾斜角是钝角 倾斜角的范围0°≤θ＜180°。 与x轴平行或重合的直线，倾斜角为0°； 与y轴平行或重合的直线，倾斜角为90°； 这样，平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角，但是倾斜角确定，直线不能确定，他们的位置关系平行或重合。 我们再回头看看这两张图片： 坡比，也就是坡角的正切，我们联想到用倾斜角的正切来表示斜率。 直线的斜率 1．概念：如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称 为直线l的斜率； 当θ=90°时，直线l的斜率不存在 斜率k是关于倾斜角θ的函数，其中定义域为. 值域是. 当时，；随着倾斜角的逐渐增大，斜率也是逐渐增大。 当时，；随着倾斜角的逐渐增大，斜率也是逐渐增大。 当时，；即水平直线的斜率为零； 当时，不存在。 直线的倾斜角和斜率的关系 直线的倾斜角和斜率都是描述直线的倾斜程度的，倾斜角是一个几何图形，斜率是倾斜程度的代数表示；为我们用代数方法研究直线提供了一种工具。 例题1：已知平面直角坐标系中的四条直线如图所示，设他们的倾斜角分别为，而且斜率分别为，分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列。 解：按照倾斜角的定义，从图中可以看出 又因为 正切函数在递增且函数值大于0，在递增且函数值小于0， 所以 3.过两点的直线l的斜率公式 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为 , 当时，直线l的斜率不存在。 而且此式当时仍然适用； 当时，此式无意义。 4．总结：斜率的两种表达形式 斜率既可以通过倾斜角的正切求得，也可以通过直线上两个点的坐标计算。但是两种表示方法都有局限性。 直线的方向向量 在直线l上任意取A、B两个不同的点，显然向量也能够描述直线l的倾斜程度，我们称是直线l的一个方向向量。 直线l上的向量及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量。 直线l的方向向量是一个非零向量； 直线l的方向向量可以有无穷多个；若向量是直线l的方向向量，则也是l的方向向量； 若直线l上有两个不同的点,则=（）就是直线l的一个方向向量； 显然水平直线的方向向量可以用表示，竖直直线的方向向量可以用表示。 直线的法向量 如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量为直线l的一个法向量，记作⊥l。显然直线的方向向量和法向量相互垂直。如果直线l的方向向量是（1,2），则法向量可以是（2，-1），或者（）;反之亦然。 直线的法向量也是描述直线倾斜程度的量，间接的知道直线的方向。
5min 例题讲解 例题2、求直线AB的倾斜角和斜率，及一个方向向量和一个法向量。 （1）, （2）， 解：（1），倾斜角150°，方向向量或者；法向量; 说明：当直线不与x轴垂直时，即时，此时向量也是直线l的方向向量。 （2），倾斜角为0°；方向向量；法向量 例3、已知，,，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 解：因为,, 所以,因此A、B、C共线，A、B、D不共线。 另解：,且都过公共点A，所以A、B、C三点共线； 与不平行，所以A、B、D三点不共线。 证法三： 所以A、B、C三点共线。 第二问，留给同学们自行解决。 到目前为止，我们掌握了哪几种证明三点共线的方法呢？斜率相等、向量共线、长度相等．
1min 课堂小结 倾斜角、斜率、方向向量、法向量 直线倾斜角和斜率的关系； 掌握两点的斜率公式。