2.2.3 两条直线的位置关系 教学设计（表格式）

课程基本信息
课题 2.2.3两条直线的位置关系
教科书 书名：《普通高中教科书·数学（B版）·选择性必修·第一册》 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年6月
教学目标
教学目标： 通过直线的斜截式方程和一般式方程判断两条直线的位置关系； 掌握两条直线平行的充要条件，并能够通过方程判断两条直线是否平行； 教学重点：正确理解直线倾斜角和斜率的概念 教学难点：斜率公式的推导与应用
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
新课讲解 在初中我们学习平面几何时已经知道，两条不重合的直线l1与l2：如果它们没有公共点，那么l1和l2平行；如果它们有唯一的公共点，则l1和l2相交。在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来判定它们之间的位置关系呢？ 因为平面直角坐标系中，一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程，所以可以通过两条直线方程组成的方程组的解的个数来判断两条直线的位置关系。 例如判断直线,直线的位置关系。 解：解得,所以两直线相交，且交点坐标是（-2，-1）. 类似的，可以用同样的方法来考察平面直角坐标系中任意两条直线的位置关系。 若直线,则可得方程组 消去未知数y并整理，可得 ① 当且仅当,即时，①式有唯一解 ,因此可知方程组有唯一解，且.此时，直线与有唯一的交点（称为相交），且交点坐标（）. 当且仅当且,即且时，①式无解，因此方程组也无解.此时直线l1与l2没有交点，因此它们相互平行. 当且仅当且,即且时，任意实数都是①式的解，方程组有无数组解.此时，直线l1与l2的方程完全一样，它们重合。 综上，若直线,则 与相交; 与平行且; 与重合且. 这个结论也可以从斜率反映的是直线的方向等来直观理解。 例如：直线与相交,直线与平行.
新课讲解 我们已经知道了两条有斜率的直线位置关系的判定方法，那么直线如果没有斜率的时候如何判断位置关系呢？ 例如直线和平行的充要条件是, 直线和重合的充要条件是. 那么如果直线我们不知道斜率是否存在，比如直线是以一般式方程给出的，我们又如何判断呢？ 设直线.当然我们可以继续利用方程组解的个数来判断两条直线的位置关系，但这里我们还可以换一个角度，利用直线的法向量来处理。 由于是直线的一个法向量，是直线l2的一个法向量，我们可以知道 (1)与相交的充要条件是与不共线，即; (2) 与平行或重合的充要条件是与共线，即. 那么又是如何区分两条直线的平行和重合呢？ 在与共线时，存在实常数，使得,因为与都不是零向量，所以0，且 此时的方程可以写成,即.可以看出，方程组要么有无穷多组解，要么没有解，而且有无穷多组解的充要条件是因此 与重合的充要条件是，存在实数,使得 例如直线与重合；直线与也重合。 而与平行的充要条件是，存在实数,使得 例如直线与平行。 上述结论我们可以得到，直线与平行的充要条件是；重合的充要条件是.
例题讲解 例题1.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标。 （1）; (2). 解：（1）将与的方程化成斜截式可知， .两条直线的斜率相等，但是截距不相等，所以两条直线平行. 另解：由于，所以两条直线平行. (2)解方程组 ,可得, 因此两条直线相交，交点坐标为. 例题2.已知直线l过点且与直线平行，求直线l的方程. 解：依题意可设的方程为.由于l过点，因此,解得C=10. 例题2中的直线求出来只有一条，这也就说明过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
课堂练习 已知直线与直线平行，求a的值。 解：,解得.
课堂小结 通过斜截式方程判断两条直线的位置关系； 通过一般式方程判断两条直线的位置关系； 求两条直线的交点坐标.
作业 课本P91练习A第1、2、3题