2.6 双曲线及其方程小结 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 2.6 双曲线及其方程小结 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 27.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 17:45:36 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题 双曲线及其方程小结
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（B版） 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 6月
教学目标
教学目标： 会求双曲线的标准方程，能关注到焦点位置； 能正确处理有关离心率和渐近线的问题. 教学重点：正确处理双曲线标准方程、离心率等问题. 教学难点：涉及渐近线的处理.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3分钟 复习回顾 一、复习回顾 1、双曲线的定义 F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足| |PF1|－|PF2 | |=2a的动点P的轨迹称为双曲线. 2、双曲线的方程、图形和性质 请完成下列表格： 标准方程图形焦点坐标顶点坐标
标准方程图形焦点坐标顶点坐标a，b，c范围对称轴对称中心渐近线离心率
35分钟 例题讲解 二、例题 例1、已知双曲线的一个焦点为，且过点，求双曲线的标准方程. 分析1：我们可以得到另一焦点坐标，利用定义算出到两焦点的距离，即，即可求出. 解法1：由已知可得另一焦点坐标是（2,0）， 因为双曲线过点，所以 所以, 又因为焦点在轴上，所以所求双曲线方程为： 分析2：我们还可以设出方程，将，代入点坐标即可，这是待定系数法. 解法2：由已知可得，所以，且焦点在轴上，所以设所求双曲线方程为： 因为双曲线过点，所以
解得：， 所求双曲线方程为： 例2、已知双曲线经过点，，求双曲线的标准方程. 分析1：不能直接得到a，b，c，的值，考虑用待定系数法设出双曲线的方程，但是焦点在什么位置，该用哪个标准方程呢？可以讨论试试. 解法1：当焦点在x轴上时，设双曲线方程为： 因为双曲线经过点，，所以 解得 ，舍去； 所以焦点在x轴的情况不存在. 当焦点在y轴上时，设双曲线方程为： 因为双曲线经过点，，所以 解得 ， 所求双曲线方程为： 分析2：其实这两个方程：和从方程形式来看其实是一样的，都可以用：m,椭圆标准方程也是这样的，再代入点的坐标，求出即可. 解：设双曲线的方程为：，因为双曲线经过点，，所以 解得：， 所求双曲线方程为： 另外：还可以利用对称性，把M，N关于x轴、y轴、原点对称，把两点变成八个点，在坐标系中描出来，也能判断焦点位置，课后可以试试. 例3、已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线过点，求双曲线的标准方程. 分析1：渐近线方程写成,但是还是，还需要判断焦点在x轴还是y轴上，因为有渐近线，可以画图试试，可以计算当时，对应的渐近线上的点的纵坐标比4大还是比4小，判断A点在渐近线的哪个区域中，从而判断焦点的位置. 解法1：当时，，所以可以判断点A在两条渐近线相交所成的四个区域中的右边区域里，所以焦点在x轴上，所以有，设a=2k，b=3k，k＞0， 则设所求双曲线方程为：因为双曲线过点所以有 解得：，所以所求双曲线的方程为： 分析2：我们来看看渐近线方程和双曲线方程之间的关系. 对于焦点在x轴上的情况： 我们将这两个式子相乘的话那就是： 和双曲线方程比差别就是等式右边1变成0，也就是只需将双曲线方程右边1变成0，就可得到渐近线方程. 通过举例让学生来体会： 再到：. 明白对于方程为：的一类双曲线，其渐近线方程是相同的，都是，反之，如果知道渐近线方程为：，那就可以设双曲线方程为：，再加一个条件就能求出双曲线方程了. 解法2：由题可知，设双曲线方程为： 因为点在双曲线上，所以有 所以 所以所求双曲线的方程为： 例4、已知双曲线的顶点为，虚轴的一个端点为，且是一个等边三角形，求双曲线的离心率. 分析：离心率是比值，需要得到a，b，c的关系式来导出比值. 画图试试就能得到关系式了. 解：作于，则， 因为是等边三角形，所以 所以 所以，从而 例5、已知双曲线的渐近线方程为：，求双曲线的离心率. 分析：渐近线的斜率是a和b的比值，因此可以得到c与a的比值，但是双曲线焦点位置不确定，因此和都有可能. 解：当双曲线焦点在x轴上时，有，设a=4m，b=3m，m＞0， 可得c=5m，所以 当双曲线焦点在y轴上时，有，设a=3m，b=4m，m＞0， 可得c=5m，所以 综上，离心率为或 .
课 堂 小 结 处理双曲线问题时，注意以下几点： 1、如果涉及到双曲线两焦点距离时，可以考虑双曲线的定义； 2、要注意焦点的位置带来的影响； 3、求双曲线的标准方程时，要注意待定系数法的使用; 4、离心率是比值，求离心率时注意得到关于a，b，c的关系式； 5、已知双曲线的渐近线方程，可以使用来求解.
布 置 作 业 课本第149页，习题2-6A组第4题，B组第2题，第5题 A4：已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F1，一条渐 近线方程是，求此双曲线的标准方程. B2：已知P是双曲线上一点，求的最小值. B5：已知F1，F2是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上，如果 MF1⊥MF2，求△MF1F2的面积.
课题 双曲线及其方程小结
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（B版） 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 6月
教学目标
教学目标： 会求双曲线的标准方程，能关注到焦点位置； 能正确处理有关离心率和渐近线的问题. 教学重点：正确处理双曲线标准方程、离心率等问题. 教学难点：涉及渐近线的处理.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3分钟 复习回顾 一、复习回顾 1、双曲线的定义 F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足| |PF1|－|PF2 | |=2a的动点P的轨迹称为双曲线. 2、双曲线的方程、图形和性质 请完成下列表格： 标准方程图形焦点坐标顶点坐标
标准方程图形焦点坐标顶点坐标a，b，c范围对称轴对称中心渐近线离心率
35分钟 例题讲解 二、例题 例1、已知双曲线的一个焦点为，且过点，求双曲线的标准方程. 分析1：我们可以得到另一焦点坐标，利用定义算出到两焦点的距离，即，即可求出. 解法1：由已知可得另一焦点坐标是（2,0）， 因为双曲线过点，所以 所以, 又因为焦点在轴上，所以所求双曲线方程为： 分析2：我们还可以设出方程，将，代入点坐标即可，这是待定系数法. 解法2：由已知可得，所以，且焦点在轴上，所以设所求双曲线方程为： 因为双曲线过点，所以
解得：， 所求双曲线方程为： 例2、已知双曲线经过点，，求双曲线的标准方程. 分析1：不能直接得到a，b，c，的值，考虑用待定系数法设出双曲线的方程，但是焦点在什么位置，该用哪个标准方程呢？可以讨论试试. 解法1：当焦点在x轴上时，设双曲线方程为： 因为双曲线经过点，，所以 解得 ，舍去； 所以焦点在x轴的情况不存在. 当焦点在y轴上时，设双曲线方程为： 因为双曲线经过点，，所以 解得 ， 所求双曲线方程为： 分析2：其实这两个方程：和从方程形式来看其实是一样的，都可以用：m,椭圆标准方程也是这样的，再代入点的坐标，求出即可. 解：设双曲线的方程为：，因为双曲线经过点，，所以 解得：， 所求双曲线方程为： 另外：还可以利用对称性，把M，N关于x轴、y轴、原点对称，把两点变成八个点，在坐标系中描出来，也能判断焦点位置，课后可以试试. 例3、已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线过点，求双曲线的标准方程. 分析1：渐近线方程写成,但是还是，还需要判断焦点在x轴还是y轴上，因为有渐近线，可以画图试试，可以计算当时，对应的渐近线上的点的纵坐标比4大还是比4小，判断A点在渐近线的哪个区域中，从而判断焦点的位置. 解法1：当时，，所以可以判断点A在两条渐近线相交所成的四个区域中的右边区域里，所以焦点在x轴上，所以有，设a=2k，b=3k，k＞0， 则设所求双曲线方程为：因为双曲线过点所以有 解得：，所以所求双曲线的方程为： 分析2：我们来看看渐近线方程和双曲线方程之间的关系. 对于焦点在x轴上的情况： 我们将这两个式子相乘的话那就是： 和双曲线方程比差别就是等式右边1变成0，也就是只需将双曲线方程右边1变成0，就可得到渐近线方程. 通过举例让学生来体会： 再到：. 明白对于方程为：的一类双曲线，其渐近线方程是相同的，都是，反之，如果知道渐近线方程为：，那就可以设双曲线方程为：，再加一个条件就能求出双曲线方程了. 解法2：由题可知，设双曲线方程为： 因为点在双曲线上，所以有 所以 所以所求双曲线的方程为： 例4、已知双曲线的顶点为，虚轴的一个端点为，且是一个等边三角形，求双曲线的离心率. 分析：离心率是比值，需要得到a，b，c的关系式来导出比值. 画图试试就能得到关系式了. 解：作于，则， 因为是等边三角形，所以 所以 所以，从而 例5、已知双曲线的渐近线方程为：，求双曲线的离心率. 分析：渐近线的斜率是a和b的比值，因此可以得到c与a的比值，但是双曲线焦点位置不确定，因此和都有可能. 解：当双曲线焦点在x轴上时，有，设a=4m，b=3m，m＞0， 可得c=5m，所以 当双曲线焦点在y轴上时，有，设a=3m，b=4m，m＞0， 可得c=5m，所以 综上，离心率为或 .
课 堂 小 结 处理双曲线问题时，注意以下几点： 1、如果涉及到双曲线两焦点距离时，可以考虑双曲线的定义； 2、要注意焦点的位置带来的影响； 3、求双曲线的标准方程时，要注意待定系数法的使用; 4、离心率是比值，求离心率时注意得到关于a，b，c的关系式； 5、已知双曲线的渐近线方程，可以使用来求解.
布 置 作 业 课本第149页，习题2-6A组第4题，B组第2题，第5题 A4：已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F1，一条渐 近线方程是，求此双曲线的标准方程. B2：已知P是双曲线上一点，求的最小值. B5：已知F1，F2是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上，如果 MF1⊥MF2，求△MF1F2的面积.