2.4 曲线与方程 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 2.4 曲线与方程 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 127.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 17:45:36 | ||
图片预览
文档简介
课程基本信息
课题 2.4曲线与方程
教科书 书名：《普通高中教科书数学选择性必修第一册B版》 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020 年 6 月
教学目标
教学目标：1、了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系；2、初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法. 教学重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念. 教学难点：对曲线与方程对应关系的理解.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2分钟 课前 复习 前面我们学习了直线与圆的方程，知道平面直角坐标系中的一个点在直线或圆上的充要条件是它的坐标满足直线或圆的方程.我们还借助直线与圆的方程讨论了直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，和同学们一起来看这样的两个问题.问题1 1、已知直线 及圆 ，则点 A. 在直线 上，但不在圆 上 B. 在直线 上，也在圆 上 C. 不在直线 上，也不在圆 上 D. 不在直线 上，但在圆 上 同学们由前面所学习的知识可知，将点的坐标分别带入直线和圆的方程，如果满足方程成立，点就在直线或者圆上，方程不成立就不在其上.下面我们代入方程可知点是分别是两个方程的解，于是点在直线 上，也在圆 上，选择B，这样我们就解决了第一个问题. 下面我们一起来看问题2 已知圆的方程的且通过点求半径的值. 同学们通过回忆圆部分的知识可知，点在圆上，点的坐标应该满足圆的方程，是圆的方程的解，将坐标代入圆的方程，可以得到半径的值为.
5分钟 尝试与探究 通过前面的学习，我们不难想到，借助方程，应该还可以讨论平面内的其他几何对象及其性质等。 和同学们一起来看下面尝试与发现中的问题： 问题（1）如图所示，设是平面内两条互相垂直的直线，且M是所有到的距离相等的点组成的集合，在图中找出M中的所有元素，如果以分别为坐标轴建立平面直角坐标系，那么M中的点的坐标有什么特点？ 同学们根据角平分线的性质可知，M是直线所形成的四个角的角平分线上的点组成的集合（包括与的交点），建立如图所示的平面直角坐标系。 如果点在集合M中，即在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上，则它的坐标x，y必须满足，这样我们得到了问题（1）的答案， 问题（2）将看成是x与y的方程，如果且（a，b为实数）能使方程成立，则称是方程的一组实数解，你能找出满足这个方程的3组实数解吗？这个方程有多少组实数解？如果将每一组实数解都看成平面直角坐标系中的一点，那么所有实数解表示的点组成的集合与（1）中的集合M有什么关系？ 同学们思考会发现如果x，y是方程的解，则点，一定在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上，即都在集合M中。例如，，，所表示的点都在集合M中，因此，方程的所有解表示的点的集合，就是集合M，也就是第一、三象限和第二、四象限的角平分线构成的曲线，一般地，这一曲线称为方程的曲线，方程称为这一曲线的方程.
2分钟 概念 总结 下面和同学们一起来学习本节课的重要概念：曲线的方程和方程的曲线. 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程之间具有如下关系： 曲线C上的点的坐标都是方程的解； 以方程的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程的曲线，方程为曲线C的方程.这就是说，如果曲线C的方程是，且平面直角坐标系中的任意一点，则 因此，方程可用来描述曲线C的特征性质，曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为 同前面一样，以后我们将不再区分曲线及其方程，因此可以说曲线等. 前面同学们学习的直线与圆，都可以看成特殊的曲线，因此直线的方程与圆的方程都是曲线方程的特殊形式.另外，尝试与发现中的集合M可以看成曲线，按照上述定义可知，M的方程是，且 需要注意的是，有些函数的解析式可以看成一种特殊的方程，此时，解析式与函数图像之间的关系实际上是方程与曲线的关系.例如，若一次函数的图象是直线l，就说明把一次函数看成方程时，这个方程对应的曲线就是直线l.不过，曲线的方程并不一定是函数，例如圆的方程中y不是x的函数，x也不是y的函数.
10分钟 课堂 例题 下面和同学们一起来看几个例题，先看例题1 例1已知平面直角坐标系中，C是端点为原点且其他所有点都在x轴正半轴上的射线，判断以及是否是C的方程，如果都不是，写出C的方程. 同学们可以借助直角坐标系画出曲线C，再结合本节课所学的知识可以将问题解决 解：可以看出，C上的点的纵坐标必为0，即如果为，C上的点，则必有；另一方面，纵坐标为0的点，当横坐标小于0时，在x轴的负半轴上，不在C上，因此不是C的方程. 类似的，因为C上的点的横坐标大于等于0，所以C上的点不满足方程，因此这也不是C的方程. 由上述分析可知，C的方程是 例1说明，曲线的方程的定义中（1）曲线C上的点的坐标都是方程的解与（2）以方程的解为坐标的点都在曲线C上，缺一不可，而且两者是对曲线上任意一点及其方程的任意一组实数解而言的.从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程的实数解为坐标的点组成的点集，则由定义中的（1）可知，由定义中的（2）可知，同时具有关系（1）和（2），就有. 下面和同学们一起来看课堂练习. 练习1：判断下列结论的正误并说明理由： （1）到x轴距离为2的点所形成的曲线的方程为错 （2）圆心在,半径为2的圆的方程是对 （3）已知，，设动点，若，则点的曲线方程是.错 下面和同学们一起来看例题2 例2：已知曲线的方程是，曲线的方程是，判断与是否有交点.如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由. 和同学们一起分析:由曲线的方程的定义可知，一个点是两条曲线的交点的充要条件是，该点的坐标是这两条曲线的方程的公共实数解，因此可以通过解方程组来判断两条曲线是否有交点等. 具体来看求解：联立，两个方程得方程组 解方程组可得或或 因此与有三个交点，且交点坐标为，， 例2说明，曲线与是否有交点的问题，可以转化为方程组 是否有实数解的问题. 下面和同学们利用课堂所学进行练习. 练习2：若曲线 和 有两个交点，则m的取值范围是？ 同学们经过思考，利用前面的曲线方程的知识可知： 根据题意，联立曲线方程，得到 得 ， ，．得到本题结论.
课后 作业 留给同学们几个问题，请同学们课后思考: 1：判断，是否在方程的曲线上. 2：到两坐标轴距离相等的点组成的轨迹的方程是 吗？为什么？ 3：判断直线与曲线是否相交，如果相交，求出交点的坐标.
1分钟 课堂 小结 今天和同学们一起学习了曲线的方程和方程的曲线的概念，并初步运用概念了解了曲线的方程以及利用曲线方程求出曲线交点的问题，课后清同学们认真反思总结课堂所学.
课题 2.4曲线与方程
教科书 书名：《普通高中教科书数学选择性必修第一册B版》 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020 年 6 月
教学目标
教学目标：1、了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系；2、初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法. 教学重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念. 教学难点：对曲线与方程对应关系的理解.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
2分钟 课前 复习 前面我们学习了直线与圆的方程，知道平面直角坐标系中的一个点在直线或圆上的充要条件是它的坐标满足直线或圆的方程.我们还借助直线与圆的方程讨论了直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，和同学们一起来看这样的两个问题.问题1 1、已知直线 及圆 ，则点 A. 在直线 上，但不在圆 上 B. 在直线 上，也在圆 上 C. 不在直线 上，也不在圆 上 D. 不在直线 上，但在圆 上 同学们由前面所学习的知识可知，将点的坐标分别带入直线和圆的方程，如果满足方程成立，点就在直线或者圆上，方程不成立就不在其上.下面我们代入方程可知点是分别是两个方程的解，于是点在直线 上，也在圆 上，选择B，这样我们就解决了第一个问题. 下面我们一起来看问题2 已知圆的方程的且通过点求半径的值. 同学们通过回忆圆部分的知识可知，点在圆上，点的坐标应该满足圆的方程，是圆的方程的解，将坐标代入圆的方程，可以得到半径的值为.
5分钟 尝试与探究 通过前面的学习，我们不难想到，借助方程，应该还可以讨论平面内的其他几何对象及其性质等。 和同学们一起来看下面尝试与发现中的问题： 问题（1）如图所示，设是平面内两条互相垂直的直线，且M是所有到的距离相等的点组成的集合，在图中找出M中的所有元素，如果以分别为坐标轴建立平面直角坐标系，那么M中的点的坐标有什么特点？ 同学们根据角平分线的性质可知，M是直线所形成的四个角的角平分线上的点组成的集合（包括与的交点），建立如图所示的平面直角坐标系。 如果点在集合M中，即在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上，则它的坐标x，y必须满足，这样我们得到了问题（1）的答案， 问题（2）将看成是x与y的方程，如果且（a，b为实数）能使方程成立，则称是方程的一组实数解，你能找出满足这个方程的3组实数解吗？这个方程有多少组实数解？如果将每一组实数解都看成平面直角坐标系中的一点，那么所有实数解表示的点组成的集合与（1）中的集合M有什么关系？ 同学们思考会发现如果x，y是方程的解，则点，一定在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上，即都在集合M中。例如，，，所表示的点都在集合M中，因此，方程的所有解表示的点的集合，就是集合M，也就是第一、三象限和第二、四象限的角平分线构成的曲线，一般地，这一曲线称为方程的曲线，方程称为这一曲线的方程.
2分钟 概念 总结 下面和同学们一起来学习本节课的重要概念：曲线的方程和方程的曲线. 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程之间具有如下关系： 曲线C上的点的坐标都是方程的解； 以方程的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程的曲线，方程为曲线C的方程.这就是说，如果曲线C的方程是，且平面直角坐标系中的任意一点，则 因此，方程可用来描述曲线C的特征性质，曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为 同前面一样，以后我们将不再区分曲线及其方程，因此可以说曲线等. 前面同学们学习的直线与圆，都可以看成特殊的曲线，因此直线的方程与圆的方程都是曲线方程的特殊形式.另外，尝试与发现中的集合M可以看成曲线，按照上述定义可知，M的方程是，且 需要注意的是，有些函数的解析式可以看成一种特殊的方程，此时，解析式与函数图像之间的关系实际上是方程与曲线的关系.例如，若一次函数的图象是直线l，就说明把一次函数看成方程时，这个方程对应的曲线就是直线l.不过，曲线的方程并不一定是函数，例如圆的方程中y不是x的函数，x也不是y的函数.
10分钟 课堂 例题 下面和同学们一起来看几个例题，先看例题1 例1已知平面直角坐标系中，C是端点为原点且其他所有点都在x轴正半轴上的射线，判断以及是否是C的方程，如果都不是，写出C的方程. 同学们可以借助直角坐标系画出曲线C，再结合本节课所学的知识可以将问题解决 解：可以看出，C上的点的纵坐标必为0，即如果为，C上的点，则必有；另一方面，纵坐标为0的点，当横坐标小于0时，在x轴的负半轴上，不在C上，因此不是C的方程. 类似的，因为C上的点的横坐标大于等于0，所以C上的点不满足方程，因此这也不是C的方程. 由上述分析可知，C的方程是 例1说明，曲线的方程的定义中（1）曲线C上的点的坐标都是方程的解与（2）以方程的解为坐标的点都在曲线C上，缺一不可，而且两者是对曲线上任意一点及其方程的任意一组实数解而言的.从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程的实数解为坐标的点组成的点集，则由定义中的（1）可知，由定义中的（2）可知，同时具有关系（1）和（2），就有. 下面和同学们一起来看课堂练习. 练习1：判断下列结论的正误并说明理由： （1）到x轴距离为2的点所形成的曲线的方程为错 （2）圆心在,半径为2的圆的方程是对 （3）已知，，设动点，若，则点的曲线方程是.错 下面和同学们一起来看例题2 例2：已知曲线的方程是，曲线的方程是，判断与是否有交点.如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由. 和同学们一起分析:由曲线的方程的定义可知，一个点是两条曲线的交点的充要条件是，该点的坐标是这两条曲线的方程的公共实数解，因此可以通过解方程组来判断两条曲线是否有交点等. 具体来看求解：联立，两个方程得方程组 解方程组可得或或 因此与有三个交点，且交点坐标为，， 例2说明，曲线与是否有交点的问题，可以转化为方程组 是否有实数解的问题. 下面和同学们利用课堂所学进行练习. 练习2：若曲线 和 有两个交点，则m的取值范围是？ 同学们经过思考，利用前面的曲线方程的知识可知： 根据题意，联立曲线方程，得到 得 ， ，．得到本题结论.
课后 作业 留给同学们几个问题，请同学们课后思考: 1：判断，是否在方程的曲线上. 2：到两坐标轴距离相等的点组成的轨迹的方程是 吗？为什么？ 3：判断直线与曲线是否相交，如果相交，求出交点的坐标.
1分钟 课堂 小结 今天和同学们一起学习了曲线的方程和方程的曲线的概念，并初步运用概念了解了曲线的方程以及利用曲线方程求出曲线交点的问题，课后清同学们认真反思总结课堂所学.