2.6.2 双曲线的几何性质 教学设计（表格式）

课程基本信息
课题 双曲线的几何性质
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（B版） 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 6月
教学目标
教学目标： 1、能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并掌握这些几何性质，理解双曲线的离心率的含义，从几何和代数两个角度来理解双曲线的渐近线； 2、进一步理解利用方程研究曲线性质的思想和方法. 教学重点： 1、双曲线的几何性质及简单应用. 2、进一步理解、运用和感悟从代数角度研究几何的思想和方法. 教学难点：双曲线的渐近线的发现、认识和从几何代数两个角度理解.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
3分钟 复 习 回 顾 1、回顾椭圆性质的学习过程，回答以下两个问题： 问题1：我们是借助什么来研究椭圆的几何性质的？ 答：借助椭圆的标准方程. 问题2：从哪些方面研究了椭圆的几何性质？ 答：范围、对称性、顶点、离心率等. 2、回顾上节课的内容，回答问题： 问题3： 双曲线的标准方程是什么？ 答：焦点在轴上的双曲线的标准方程是： 焦点在轴上的双曲线的标准方程：
28分钟 新 课 利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质 1、双曲线的标准方程为： （1）如何从方程①得到范围？ 由方程可得：，所以 这样可知双曲线位于两直线 所夹平面区域的 外侧.如图所示： （2）如何从方程①得到对称性？ 如果是方程①的解，那么显然都是①的解，所以轴、轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心. （3）如何由方程①得顶点 令，可得， 而令，方程无解，所以双曲线 与轴有两交点、， 与轴无交点. 、就是双曲线顶点，线段称为双曲线的实轴. 记，称线段为双曲线的虚轴. 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长 （4）渐近线 观察双曲线上一点的横纵坐标的变化情况： 当增大时，也增大 根据对称性，先考虑第一象限情况： 将方程①改写成：这样便于考察y随x的变化是如何变化的. 当时， 从图形看，双曲线始终在直线下方，不会与之相交 而且，当越来越大时： 这样点越来越接近直线. 因此，从几何直观看，双曲线在第一象限随着x的增加，越来越接近直线但又始终不相交.根据对称性，在其他几个象限也是这样的，双曲线在四个方向上越来越接近这两条直线，但不会与这条直线相交. 换个角度来看上述情形，仍以第一象限为例， 计算点到直线（即）的距离，当时，，但d≠0 当时，，所以在第一象限内，随着的增大点会越来越接近直线，但不会与这条直线相交. 直线称之为该双曲线的渐近线. 问题4：如何才能把双曲线的图像画得比较好点？ 先画出矩形和渐近线，再来画双曲线. 5、离心率 同椭圆一样，定义双曲线的半焦距与半实轴之比为离心率，即： 问题5：的范围是什么？ 答： 问题6：逐渐增大时，双曲线会怎么变化？ 答：开口越来越大. 先通过3个具体例子比较来看： 然后分析渐近线的斜率的绝对值： e 越趋近于1 ，则 越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄; e 越来越大时，则 越大，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越开阔. 2、双曲线的标准方程为： 请大家类比椭圆写出方程②，即焦点在轴上的双曲线的几何性质： （1）范围： （2）对称性： 对称轴：轴和轴 对称中心：原点 （3）顶点坐标： 实轴：线段 虚轴：线段 （4）渐近线方程： （5）离心率：
6分钟 例 题 例 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程. 解：（1）由方程可知，焦点在轴上，且, 所以 所以实轴长，焦点坐标为： 离心率： 渐近线方程为： （2）将双曲线方程化成标准方程形式： 可知焦点在轴上，且, 所以,即 所以实轴长，焦点坐标为： 离心率： 渐近线方程为：
2分钟 课 堂 小 结 1、利用双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质，再次体会用代数方程研究曲线性质的思想和方法； 2、双曲线的几何性质和椭圆类似，注意它们的不同，尤其要重视对渐近线的认识，要从几何和代数两个角度加以理解； 3、在具体表示几何性质时，要区分焦点在x轴或y轴.
1分钟 课 后 作 业 课本P148，练习A第1题，练习B第1题. A1：写出的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程. B1：求双曲线实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程.