2.7 抛物线及其方程小结 教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 2.7 抛物线及其方程小结 教案（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 774.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 17:45:36 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题 2.7抛物线及其方程小结
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020 年 8 月
教学目标
教学目标：梳理抛物线的定义、标准方程及其几何性质的知识 教学重点：抛物线相关知识与方法的巩固应用 教学难点：解决抛物线的复杂相关问题
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
5分 知识梳理 一、抛物线的定义： 一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线. 二、抛物线的标准方程： ①； ②； ③； ④； ②③④这四种形式之一. 三、抛物线的几何性质： 一般地，如果抛物线 C 的标准方程是 ① 则可以根据方程①来得到抛物线的一些几何性质. （1）范围 由方程①可知， ，又因为 ，所以 . 因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的右侧. 另外，当 无限增大时， 也无限增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如图所示. 此时，称抛物线 C 的开口向右（或朝右）. （2）对称性 如果 是方程①的一组解，则不难看出 ， 也是方程的解，这说明抛物线 C 关于 轴对称，如图所示. 此时称 轴是抛物线的对称轴（简称轴）. （3）顶点 在方程 中，令 ，得 ；令 ，得 . 可知抛物线 C 与 轴、 轴都相交于原点 . 此时，称原点是抛物线的顶点. 如图所示. （4）离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用 表示. 根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率 . 如果抛物线的标准方程是 ②； ③； ④. 可以看出，②③④所表示抛物线，顶点坐标、离心率与①所表示的抛物线是相同的，但是： ② 所表示的抛物线中，，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的左侧，抛物线的开口向左（或朝左），抛物线关于 轴对称； ③ 所表示的抛物线中，，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的上方，抛物线的开口向上（或朝上），抛物线关于 轴对称； ④ 所表示的抛物线中，，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的下方，抛物线的开口向下（或朝下），抛物线关于 轴对称.
15分 知识与方法的巩固应用 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： （1）抛物线的焦点到 轴的距离是 2，而且焦点在 轴 的正半轴上； 解 （1）由已知可得焦点坐标为 ，因此抛物线的标准方程具有 的形式 ，且 4 ，从而所求的抛物线的标准方程是 . （2）抛物线的焦点是双曲线 的焦点之一. 解 （2）因为双曲线 中，，又因为双曲线的焦点在 轴上，所以焦点坐标为 或 . 如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式 ，且 10 ，此时抛物线的标准方程是 . 如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式 ，且 ，此时抛物线的标准方程是 . 例2 已知直线 平行于 轴，且 与 轴的交点为 ，点 在直线 上，动点 P 的纵坐标与 的纵坐标相同，且 ，求 P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状. 解 由条件可知，直线 的方程为 ，因此点 的横坐标为 4 . 设 P 的坐标为 ，则点 的坐标为 . 因此 . 因为 的充要条件是 ，所以 ，即动点 P 的轨迹方程为 . 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线 . 例3 设抛物线 上一点 M 的横坐标为 ，证明 M 到抛物线焦点的距离为 ，并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论 . 证明 如图，由抛物线的定义可知，，得到 . 即 等于点 M 的横坐标 与 的和， 所以 M 到抛物线焦点的距离为 得证. 总结 图（1），可知 M 到抛物线焦点的距离为 ； 图（2），可知 M 到抛物线焦点的距离为 ； 图（3），可知 M 到抛物线焦点的距离为 . 此结论可以直接应用. 例4 过抛物线 的焦点为 F 的直线与抛物线相交于A，B两点，从A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ，求证： . 证明 依题意 . 则 ， 分析：要证 ，只需， ， 所以 . 设直线为 ，由 可得，从而 . 可得 ，故 ，即 . 小结：直线与抛物线相交的问题，可以联立方程组，设而不求来解决问题.
2分 课堂小结 梳理了抛物线的定义、标准方程和几何性质等相关知识 面对问题，要注重从定义和几何性质出发 体会使用定义和几何性质是解决抛物线的高效工具
课题 2.7抛物线及其方程小结
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020 年 8 月
教学目标
教学目标：梳理抛物线的定义、标准方程及其几何性质的知识 教学重点：抛物线相关知识与方法的巩固应用 教学难点：解决抛物线的复杂相关问题
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
5分 知识梳理 一、抛物线的定义： 一般地，设 F 是平面内的一个定点，l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线. 二、抛物线的标准方程： ①； ②； ③； ④； ②③④这四种形式之一. 三、抛物线的几何性质： 一般地，如果抛物线 C 的标准方程是 ① 则可以根据方程①来得到抛物线的一些几何性质. （1）范围 由方程①可知， ，又因为 ，所以 . 因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的右侧. 另外，当 无限增大时， 也无限增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如图所示. 此时，称抛物线 C 的开口向右（或朝右）. （2）对称性 如果 是方程①的一组解，则不难看出 ， 也是方程的解，这说明抛物线 C 关于 轴对称，如图所示. 此时称 轴是抛物线的对称轴（简称轴）. （3）顶点 在方程 中，令 ，得 ；令 ，得 . 可知抛物线 C 与 轴、 轴都相交于原点 . 此时，称原点是抛物线的顶点. 如图所示. （4）离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用 表示. 根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率 . 如果抛物线的标准方程是 ②； ③； ④. 可以看出，②③④所表示抛物线，顶点坐标、离心率与①所表示的抛物线是相同的，但是： ② 所表示的抛物线中，，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的左侧，抛物线的开口向左（或朝左），抛物线关于 轴对称； ③ 所表示的抛物线中，，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的上方，抛物线的开口向上（或朝上），抛物线关于 轴对称； ④ 所表示的抛物线中，，除顶点外，抛物线上的其余点都在 轴的下方，抛物线的开口向下（或朝下），抛物线关于 轴对称.
15分 知识与方法的巩固应用 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： （1）抛物线的焦点到 轴的距离是 2，而且焦点在 轴 的正半轴上； 解 （1）由已知可得焦点坐标为 ，因此抛物线的标准方程具有 的形式 ，且 4 ，从而所求的抛物线的标准方程是 . （2）抛物线的焦点是双曲线 的焦点之一. 解 （2）因为双曲线 中，，又因为双曲线的焦点在 轴上，所以焦点坐标为 或 . 如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式 ，且 10 ，此时抛物线的标准方程是 . 如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式 ，且 ，此时抛物线的标准方程是 . 例2 已知直线 平行于 轴，且 与 轴的交点为 ，点 在直线 上，动点 P 的纵坐标与 的纵坐标相同，且 ，求 P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状. 解 由条件可知，直线 的方程为 ，因此点 的横坐标为 4 . 设 P 的坐标为 ，则点 的坐标为 . 因此 . 因为 的充要条件是 ，所以 ，即动点 P 的轨迹方程为 . 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线 . 例3 设抛物线 上一点 M 的横坐标为 ，证明 M 到抛物线焦点的距离为 ，并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论 . 证明 如图，由抛物线的定义可知，，得到 . 即 等于点 M 的横坐标 与 的和， 所以 M 到抛物线焦点的距离为 得证. 总结 图（1），可知 M 到抛物线焦点的距离为 ； 图（2），可知 M 到抛物线焦点的距离为 ； 图（3），可知 M 到抛物线焦点的距离为 . 此结论可以直接应用. 例4 过抛物线 的焦点为 F 的直线与抛物线相交于A，B两点，从A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ，求证： . 证明 依题意 . 则 ， 分析：要证 ，只需， ， 所以 . 设直线为 ，由 可得，从而 . 可得 ，故 ，即 . 小结：直线与抛物线相交的问题，可以联立方程组，设而不求来解决问题.
2分 课堂小结 梳理了抛物线的定义、标准方程和几何性质等相关知识 面对问题，要注重从定义和几何性质出发 体会使用定义和几何性质是解决抛物线的高效工具